二級(jí)C輔導(dǎo)教程及考點(diǎn)分析：第五章 函數(shù)

    一個(gè)函數(shù)在它的函數(shù)體內(nèi)調(diào)用它自身稱為遞歸調(diào)用。 這種函數(shù)稱為遞歸函數(shù)。Ｃ語(yǔ)言允許函數(shù)的遞歸調(diào)用。在遞歸調(diào)用中， 主調(diào)函數(shù)又是被調(diào)函數(shù)。執(zhí)行遞歸函數(shù)將反復(fù)調(diào)用其自身。 每調(diào)用一次就進(jìn)入新的一層。例如有函數(shù)f如下：
    int f (int x)
    {
    int y;
    z=f(y);
    return z;
    }
    這個(gè)函數(shù)是一個(gè)遞歸函數(shù)。 但是運(yùn)行該函數(shù)將無休止地調(diào)用其自身，這當(dāng)然是不正確的。為了防止遞歸調(diào)用無終止地進(jìn)行， 必須在函數(shù)內(nèi)有終止遞歸調(diào)用的手段。常用的辦法是加條件判斷， 滿足某種條件后就不再作遞歸調(diào)用，然后逐層返回。 下面舉例說明遞歸調(diào)用的執(zhí)行過程。
    [例5.9]用遞歸法計(jì)算n!用遞歸法計(jì)算n!可用下述公式表示：
    n!=1 (n=0,1)
    n×(n-1)! (n>1)
    按公式可編程如下：
    long ff(int n)
    {
    long f;
    if(n<0) printf("n<0,input error");
    else if(n==0||n==1) f=1;
    else f=ff(n-1)*n;
    return(f);
    }
    main()
    {
    int n;
    long y;
    printf("\ninput a inteager number:\n");
    scanf("%d",&n);
    y=ff(n);
    printf("%d!=%ld",n,y);
    }
    long ff(int n)
    { ……
    else f=ff(n-1)*n;
    ……
    }
    main()
    { ……
    y=ff(n);
    ……
    } 
    程序中給出的函數(shù)ff是一個(gè)遞歸函數(shù)。主函數(shù)調(diào)用ff 后即進(jìn)入函數(shù)ff執(zhí)行，如果n<0,n==0或n=1時(shí)都將結(jié)束函數(shù)的執(zhí)行，否則就遞歸調(diào)用ff函數(shù)自身。由于每次遞歸調(diào)用的實(shí)參為n-1，即把n-1 的值賦予形參n，最后當(dāng)n-1的值為1時(shí)再作遞歸調(diào)用，形參n的值也為1，將使遞歸終止。然后可逐層退回。下面我們?cè)倥e例說明該過程。 設(shè)執(zhí)行本程序時(shí)輸入為5， 即求 5!。在主函數(shù)中的調(diào)用語(yǔ)句即為y=ff(5)，進(jìn)入ff函數(shù)后，由于n=5,不等于0或1，故應(yīng)執(zhí)行f=ff(n-1)*n,即f=ff(5-1)*5。該語(yǔ)句對(duì)ff作遞歸調(diào)用即ff(4)。 逐次遞歸展開如圖5.3所示。進(jìn)行四次遞歸調(diào)用后，ff函數(shù)形參取得的值變?yōu)?，故不再繼續(xù)遞歸調(diào)用而開始逐層返回主調(diào)函數(shù)。ff(1)的函數(shù)返回值為1，ff(2)的返回值為1*2=2，ff(3)的返回值為2*3=6，ff(4) 的返
    回值為6*4=24，最后返回值ff(5)為24*5=120。

    例5. 9也可以不用遞歸的方法來完成。如可以用遞推法，即從1開始乘以2，再乘以3…直到n。遞推法比遞歸法更容易理解和實(shí)現(xiàn)。但是有些問題則只能用遞歸算法才能實(shí)現(xiàn)。典型的問題是Hanoi塔問題。
    
    [例5.10]Hanoi塔問題
    一塊板上有三根針，A，B，C。A針上套有64個(gè)大小不等的圓盤， 大的在下，小的在上。如圖5.4所示。要把這64個(gè)圓盤從A針移動(dòng)C針上，每次只能移動(dòng)一個(gè)圓盤，移動(dòng)可以借助B針進(jìn)行。但在任何時(shí)候，任何針上的圓盤都必須保持大盤在下，小盤在上。求移動(dòng)的步驟。
    本題算法分析如下，設(shè)A上有n個(gè)盤子。
    如果n=1，則將圓盤從A直接移動(dòng)到C。
    如果n=2，則：
    1.將A上的n-1(等于1)個(gè)圓盤移到B上；
    2.再將A上的一個(gè)圓盤移到C上；
    3.最后將B上的n-1(等于1)個(gè)圓盤移到C上。
    如果n=3，則：
    A. 將A上的n-1(等于2，令其為n`)個(gè)圓盤移到B(借助于C)， 
    步驟如下：
    (1)將A上的n`-1(等于1)個(gè)圓盤移到C上，見圖5.5(b)。
    (2)將A上的一個(gè)圓盤移到B，見圖5.5(c)
    (3)將C上的n`-1(等于1)個(gè)圓盤移到B，見圖5.5(d)
    B. 將A上的一個(gè)圓盤移到C，見圖5.5(e)
    C. 將B上的n-1(等于2，令其為n`)個(gè)圓盤移到C(借助A)，
    步驟如下：
    (1)將B上的n`-1(等于1)個(gè)圓盤移到A，見圖5.5(f)
    (2)將B上的一個(gè)盤子移到C，見圖5.5(g)
    (3)將A上的n`-1(等于1)個(gè)圓盤移到C，見圖5.5(h)。
    到此，完成了三個(gè)圓盤的移動(dòng)過程。
    從上面分析可以看出，當(dāng)n大于等于2時(shí)， 移動(dòng)的過程可分解為
    三個(gè)步驟：
    第一步 把A上的n-1個(gè)圓盤移到B上；
    第二步 把A上的一個(gè)圓盤移到C上；
    第三步 把B上的n-1個(gè)圓盤移到C上；其中第一步和第三步是類同的。 
    當(dāng)n=3時(shí)，第一步和第三步又分解為類同的三步，即把n`-1個(gè)圓盤從一個(gè)針移到另一個(gè)針上，這里的n`=n-1。 顯然這是一個(gè)遞歸過
    程，據(jù)此算法可編程如下：
    move(int n,int x,int y,int z)
    {
    if(n==1)
    printf("%c-->%c\n",x,z);
    else
    {
    move(n-1,x,z,y);
    printf("%c-->%c\n",x,z);
    move(n-1,y,x,z);
    }
    }
    main()
    {
    int h;
    printf("\ninput number:\n");
    scanf("%d",&h);
    printf("the step to moving %2d diskes:\n",h);
    move(h,’a’,’b’,’c’);
    }
    move(int n,int x,int y,int z)
    {
    if(n==1)
    printf("%-->%c\n",x,z);
    else
    {
    move(n-1,x,z,y);
    printf("%c-->%c\n",x,z);
    move(n-1,y,x,z);
    }
    }
    main()
    { ……
    move(h,’a’,’b’,’c’);
    }
    從程序中可以看出,move函數(shù)是一個(gè)遞歸函數(shù)，它有四個(gè)形參n,x,y,z。n表示圓盤數(shù)，x,y,z分別表示三根針。move 函數(shù)的功能是把x上的n個(gè)圓盤移動(dòng)到z 上。當(dāng)n==1時(shí)，直接把x上的圓盤移至z上，輸出x→z。如n!=1則分為三步：遞歸調(diào)用move函數(shù)，把n-1個(gè)圓盤從x移到y(tǒng)；輸出x→z；遞歸調(diào)用move函數(shù)，把n-1個(gè)圓盤從y移到z。在遞歸調(diào)用過程中n=n-1，故n的值逐次遞減，最后n=1時(shí)，終止遞歸，逐層返回。當(dāng)n=4 時(shí)程序運(yùn)行的結(jié)果為
    input number:
    4
    the step to moving 4 diskes:
    a→b
    a→c
    b→c
    a→b
    c→a
    c→b
    a→b
    a→c
    b→c
    b→a
    c→a
    b→c
    a→b
    a→c
    b→c