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2011計(jì)算機(jī)等考二級(jí)公共基礎(chǔ)知識(shí)講義:第1章(6)

考試吧編輯整理“2011計(jì)算機(jī)等考二級(jí)公共基礎(chǔ)知識(shí)輔導(dǎo)講義”,供大家復(fù)習(xí)使用。

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  1.6 樹(shù)與二叉樹(shù)(學(xué)吧學(xué)吧獨(dú)家稿件)

  1、樹(shù)的基本概念

  樹(shù)是一種簡(jiǎn)單的非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)。在樹(shù)這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中,所有數(shù)據(jù)元素之間的關(guān)系具有明顯的層次特性。

  在樹(shù)結(jié)構(gòu)中,每一個(gè)結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)前件,稱(chēng)為父結(jié)點(diǎn)。沒(méi)有前件的結(jié)點(diǎn)只有一個(gè),稱(chēng)為樹(shù)的根結(jié)點(diǎn),簡(jiǎn)稱(chēng)樹(shù)的根。每一個(gè)結(jié)點(diǎn)可以有多個(gè)后件,稱(chēng)為該結(jié)點(diǎn)的子結(jié)點(diǎn)。沒(méi)有后件的結(jié)點(diǎn)稱(chēng)為葉子結(jié)點(diǎn)。

  在樹(shù)結(jié)構(gòu)中,一個(gè)結(jié)點(diǎn)所擁有的后件的個(gè)數(shù)稱(chēng)為該結(jié)點(diǎn)的度,所有結(jié)點(diǎn)中最大的度稱(chēng)為樹(shù)的度。樹(shù)的最大層次稱(chēng)為樹(shù)的深度。

  2、二叉樹(shù)及其基本性質(zhì)

  (1)什么是二叉樹(shù)

  二叉樹(shù)是一種很有用的非線(xiàn)性結(jié)構(gòu),它具有以下兩個(gè)特點(diǎn):1)非空二叉樹(shù)只有一個(gè)根結(jié)點(diǎn);2)每一個(gè)結(jié)點(diǎn)最多有兩棵子樹(shù),且分別稱(chēng)為該結(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)與右子樹(shù)。

  *:根據(jù)二叉樹(shù)的概念可知,二叉樹(shù)的度可以為0(葉結(jié)點(diǎn))、1(只有一棵子樹(shù))或2(有2棵子樹(shù))。

  (2)二叉樹(shù)的基本性質(zhì)(學(xué)吧學(xué)吧獨(dú)家稿件)

  性質(zhì)1 在二叉樹(shù)的第k層上,最多有2k-1(k≥1)個(gè)結(jié)點(diǎn)。

  性質(zhì)2 深度為m的二叉樹(shù)最多有個(gè)2m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)。

  性質(zhì)3 在任意一棵二叉樹(shù)中,度數(shù)為0的結(jié)點(diǎn)(即葉子結(jié)點(diǎn))總比度為2的結(jié)點(diǎn)多一個(gè)。

  性質(zhì)4 具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù),其深度至少為[log2n]+1,其中[log2n]表示取log2n的整數(shù)部分。

  3、滿(mǎn)二叉樹(shù)與完全二叉樹(shù)

  滿(mǎn)二叉樹(shù):除最后一層外,每一層上的所有結(jié)點(diǎn)都有兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)。

  完全二叉樹(shù):除最后一層外,每一層上的結(jié)點(diǎn)數(shù)均達(dá)到最大值;在最后一層上只缺少右邊的若干結(jié)點(diǎn)。

  *:根據(jù)完全二叉樹(shù)的定義可得出:度為1的結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0或1。

  下圖a表示的是滿(mǎn)二叉樹(shù),下圖b表示的是完全二叉樹(shù):

2011計(jì)算機(jī)等考二級(jí)公共基礎(chǔ)知識(shí)講義 

  完全二叉樹(shù)還具有如下兩個(gè)特性:

  性質(zhì)5 具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹(shù)深度為[log2n]+1。

  性質(zhì)6 設(shè)完全二叉樹(shù)共有n個(gè)結(jié)點(diǎn),如果從根結(jié)點(diǎn)開(kāi)始,按層序(每一層從左到右)用自然數(shù)1,2,…,n給結(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào),則對(duì)于編號(hào)為k(k=1,2,…,n)的結(jié)點(diǎn)有以下結(jié)論:

 、偃鬹=1,則該結(jié)點(diǎn)為根結(jié)點(diǎn),它沒(méi)有父結(jié)點(diǎn);若k>1,則該結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)的編號(hào)為INT(k/2)。

 、谌2k≤n,則編號(hào)為k的左子結(jié)點(diǎn)編號(hào)為2k;否則該結(jié)點(diǎn)無(wú)左子結(jié)點(diǎn)(顯然也沒(méi)有右子結(jié)點(diǎn))。

  ③若2k+1≤n,則編號(hào)為k的右子結(jié)點(diǎn)編號(hào)為2k+1;否則該結(jié)點(diǎn)無(wú)右子結(jié)點(diǎn)。

  4、二叉樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

  在計(jì)算機(jī)中,二叉樹(shù)通常采用鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)。

  與線(xiàn)性鏈表類(lèi)似,用于存儲(chǔ)二叉樹(shù)中各元素的存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)也由兩部分組成:數(shù)據(jù)域和指針域。但在二叉樹(shù)中,由于每一個(gè)元素可以有兩個(gè)后件(即兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)),因此,用于存儲(chǔ)二叉樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)的指針域有兩個(gè):一個(gè)用于指向該結(jié)點(diǎn)的左子結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)地址,稱(chēng)為左指針域;另一個(gè)用于指向該結(jié)點(diǎn)的右子結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)地址,稱(chēng)為右指針域。

  *:一般二叉樹(shù)通常采用鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu),對(duì)于滿(mǎn)二叉樹(shù)與完全二叉樹(shù)來(lái)說(shuō),可以按層序進(jìn)行順序存儲(chǔ)[注釋1] 。

  5、二叉樹(shù)的遍歷(學(xué)吧學(xué)吧獨(dú)家稿件)

  二叉樹(shù)的遍歷是指不重復(fù)地訪(fǎng)問(wèn)二叉樹(shù)中的所有結(jié)點(diǎn)。二叉樹(shù)的遍歷可以分為以下三種:

  (1)前序遍歷(DLR):若二叉樹(shù)為空,則結(jié)束返回。否則:首先訪(fǎng)問(wèn)根結(jié)點(diǎn),然后遍歷左子樹(shù),最后遍歷右子樹(shù);并且,在遍歷左右子樹(shù)時(shí),仍然先訪(fǎng)問(wèn)根結(jié)點(diǎn),然后遍歷左子樹(shù),最后遍歷右子樹(shù)。

  (2)中序遍歷(LDR):若二叉樹(shù)為空,則結(jié)束返回。否則:首先遍歷左子樹(shù),然后訪(fǎng)問(wèn)根結(jié)點(diǎn),最后遍歷右子樹(shù);并且,在遍歷左、右子樹(shù)時(shí),仍然先遍歷左子樹(shù),然后訪(fǎng)問(wèn)根結(jié)點(diǎn),最后遍歷右子樹(shù)。

  (3)后序遍歷(LRD):若二叉樹(shù)為空,則結(jié)束返回。否則:首先遍歷左子樹(shù),然后遍歷右子樹(shù),最后訪(fǎng)問(wèn)根結(jié)點(diǎn),并且,在遍歷左、右子樹(shù)時(shí),仍然先遍歷左子樹(shù),然后遍歷右子樹(shù),最后訪(fǎng)問(wèn)根結(jié)點(diǎn)。

  注釋1:這樣,不僅節(jié)省了存儲(chǔ)空間,又能方便地確定每一個(gè)結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)與左右子結(jié)點(diǎn)的位置,但順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)對(duì)于一般的二叉樹(shù)不適用。

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