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　　1 . 在一個關(guān)系R中，若每個數(shù)據(jù)項都是不可再分割的，那么R一定屬于__________ 。 (問答題) 參考答案：

　　第一范式(1NF)

　　2 . 理解并給出下列術(shù)語的定義：函數(shù)依賴、部分函數(shù)依賴、完全函數(shù)依賴、傳遞依賴、候選碼、主碼、 外碼、全碼(All-key)、1NF、2NF、3NF、BCNF、多值依賴、4NF。 (填空題)

　　參考答案：

　　函數(shù)依賴：設(shè)R (U)是一個關(guān)系模式，U是R的屬性集合，X和Y是U的子集。對于R (U)的任意一個可能的關(guān)系r，如果r中不存在兩個元組，它們在X上的屬性值相同， 而在Y上的屬性值不同， 則稱“X函數(shù)確定Y"或“Y函數(shù)依賴于X"，記作X→Y。 *解析： 1)函數(shù)依賴是最基本的一種數(shù)據(jù)依賴，也是最重要的一種數(shù)據(jù)依賴。 2)函數(shù)依賴是屬性之間的一種聯(lián)系，體現(xiàn)在屬性值是否相等。由上面的定義可以知道，如果X→Y，則r中任意兩個元組，若它們在X上的屬性值相同，那么在Y上的屬性值一定也相同。 3)我們要從屬性間實際存在的語義來確定他們之間的函數(shù)依賴，即函數(shù)依賴反映了(描述了)現(xiàn)實世界的一種語義。 4)函數(shù)依賴不是指關(guān)系模式R的在某個時刻的關(guān)系(值)滿足的約束條件，而是指R任何時刻的一切關(guān)系均要滿足的約束條件。答：完全函數(shù)依賴、部分函數(shù)依賴：在R(U)中，如果X→Y，并且對于X的任何一個真子集X，都有X′→Y，則稱Y對X完全函數(shù)依賴，記作： 若X→Y，但Y不完全函數(shù)依賴于X，則稱Y對X部分函數(shù)依賴，記作： 傳遞依賴：在R(U)中，如果X →Y，(Y ? X)，Y →X，Y→Z，則稱Z對X傳遞函數(shù)依賴。候選碼、主碼： 設(shè)K為R中的屬性或?qū)傩越M合，若K → U則K為R的候選碼(Candidate key)。若候選碼多于一個，則選定其中的一個為主碼(Primary key)。 *解析： 1) 這里我們用函數(shù)依賴來嚴格定義碼的概念。在第二章中我們只是描述性地定義碼(可以復(fù)習2.2.1)：若關(guān)系中的某一屬性組的值能唯一地標識一個元組，則稱該屬性組為候選碼(Candidate key)。 2)因為碼有了嚴格定義，同學在學習了《概論》5.3數(shù)據(jù)依賴的公理系統(tǒng)后就可以從R的函數(shù)依賴集F出發(fā)，用算法來求候選碼。答：外碼：關(guān)系模式R中屬性或?qū)傩越MX并非R的碼，但X是另一個關(guān)系模式的碼，則稱X是R的外部碼(Foreign key)也稱外碼。全碼：整個屬性組是碼，稱為全碼(All-key)。答： 1NF：如果一個關(guān)系模式R的所有屬性都是不可分的基本數(shù)據(jù)項，則R∈1NF。 *解析：第一范式是對關(guān)系模式的最起碼的要求。不滿足第一范式的數(shù)據(jù)庫模式不能稱為關(guān)系數(shù)據(jù)庫。答： 2NF：若關(guān)系模式R∈1NF，并且每一個非主屬性都完全函數(shù)依賴于R的碼，則R∈2NF。 3NF：關(guān)系模式R 中若不存在這樣的碼X，屬性組Y及非主屬性Z(Z ? Y)使得X→Y，(Y → X)Y→Z，成立，則稱R ? 3NF。 BCNF：關(guān)系模式R ?1NF。若X→Y且Y ? X時X必含有碼，則R ? BCNF。 *解析：同學們要真正理解這些范式的內(nèi)涵。各種范式之間的聯(lián)系：5NF? 4NF? BCNF? 3NF? 2NF? lNF(《概論》上圖5.2)。能夠理解為什么有這種包含關(guān)系。答：多值依賴：設(shè)R(U)是屬性集U上的一個關(guān)系模式。X，Y，Z是U的子集，并且Z=U-X-Y。關(guān)系模式R(U)中多值依賴X→→Y成立，當且僅當對R(U)的任一關(guān)系r，給定的一對(x，z)值，有一組Y的值，這組值僅僅決定于x值而與z值無關(guān)。 4NF：關(guān)系模式R ? lNF，如果對于R的每個非平凡多值依賴X→→Y(Y ? X)，X都含有碼，則稱R ? 4NF。 *解析：對于多值依賴的定義有多種�！陡耪摗飞隙x 5.9后面又給出了一種等價的定義。習題中的第4題是另一種等價的定義。同學們可以對比不同的定義來理解多值依賴。選擇自己容易理解的一種定義來掌握多值依賴概念。

　　3 .試由Armostrong公理系統(tǒng)推導出下面三條推理規(guī)則： (1) 合并規(guī)則：若X→Z，X→Y，則有X→YZ (2) 偽傳遞規(guī)則：由X→Y，WY→Z有XW→Z (3) 分解規(guī)則：X→Y，Z ?Y，有X→Z (填空題)

　　參考答案：

　　(1) 已知X→Z，由增廣律知XY→YZ，又因為X→Y，可得XX→XY→YZ，最后根據(jù)傳遞律得X→YZ。(2) 已知X→Y，據(jù)增廣律得XW→WY，因為WY→Z，所以XW→WY→Z，通過傳遞律可知XW→Z。(3) 已知Z ?Y，根據(jù)自反律知Y→Z，又因為X→Y，所以由傳遞律可得X→Z。

　　4 . 若關(guān)系為1NF，且它的每一非主屬性都__________ 候選碼，則該關(guān)系為2NF。 (問答題)

　　參考答案：

　　完全函數(shù)依賴于

　　5 .關(guān)于多值依賴的另一種定義是：給定一個關(guān)系模式R(X，Y，Z)，其中X，Y，Z可以是屬性或?qū)傩越M合。設(shè)x∈X，y∈Y，z∈Z，xz在R中的像集為： Yx z = {r.Y | r.X=x ∧ r.Z = z ∧ r?R} 定義 R(X，Y，Z)當且僅當Yxz =Yxz′對于每一組(x，z，z′)都成立，則Y對X多值依賴，記作X→→Y。這里，允許Z為空集，在Z為空集時，稱為平凡的多值依賴。請證明這里的定義和《概論》5.2.7節(jié)中定義5.9是等價的。 (填空題)

　　參考答案：

　　設(shè)Yxz=Yxz’對于每一組(x，z，z′)都成立，現(xiàn)證其能推出定義5.9的條件：設(shè)s、t是關(guān)系r中的兩個元組，s[X]= t[X]，由新定義的條件知對于每一個z值，都對應(yīng)相同的一組y值。這樣一來，對相同的x值，交換y值后所得的元組仍然屬于關(guān)系r，即定義5.9的條件成立;如果定義5.9的條件成立，則對相同的x值，交換y值后所得的元組仍然屬于關(guān)系r，由于任意性及其對稱性，可知每個z值對應(yīng)相同的一組y值，所以Yxz=Yxz’對于每一組(x，z，z′)都成立。綜上可知，新定義和定義5.9的條件是等價的，所以新定義和定義5.9是等價的。

　　6 . 如果X→Y和X→Z成立，那么X→YZ也成立，這個推理規(guī)則稱為___________ 。 (問答題)

　　參考答案：

　　合并規(guī)則

　　7 . 如果關(guān)系模式R是第二范式，且每個非主屬性都不傳遞依賴于R的候選碼，則稱R為________ 關(guān)系模式。 (問答題)

　　參考答案：

　　3NF

　　8 .試舉出三個多值依賴的實例。 (填空題)

　　參考答案：

　　(1) 關(guān)系模式MSC(M，S，C)中，M表示專業(yè)，S表示學生，C表示該專業(yè)的必修課。假設(shè)每個專業(yè)有多個學生，有一組必修課。設(shè)同專業(yè)內(nèi)所有學生的選修的必修課相同，實例關(guān)系如下。按照語義對于M的每一個值M i，S有一個完整的集合與之對應(yīng)而不問C取何值，所以M→→S。由于C與S的完全對稱性，必然有M→→C成立。(2) 關(guān)系模式ISA(I，S，A)中，I表示學生興趣小組，S表示學生，A表示某興趣小組的活動項目。假設(shè)每個興趣小組有多個學生，有若干活動項目。每個學生必須參加所 在興趣小組的所有活動項目，每個活動項目要求該興趣小組的所有學生參加。按照語義有I→→S，I→→A成立。 (3) 關(guān)系模式RDP(R，D，P)中，R表示醫(yī)院的病房，D表示責任醫(yī)務(wù)人員，P表示病人。假設(shè)每個病房住有多個病人，有多個責任醫(yī)務(wù)人員負責醫(yī)治和護理該病房的所有病人。按照語義有R→→D，R→→P成立。

　　9 . 在函數(shù)依賴中，平凡函數(shù)依賴是可以根據(jù)Armstrong推理規(guī)則中的__________ 律推出的。 (問答題)

　　參考答案：

　　自反

　　10 .試證明《概論》上給出的關(guān)于FD和MVD公理系統(tǒng)的A4，A6和A8。 (填空題)

　　參考答案：

　　A4：若X→→Y，V?W?U，則XW→→YV 設(shè)Z=U-X-Y 已知X→→Y，設(shè)r是R上的任一關(guān)系，s、t∈r，且t[X]=s[X]，則存在元組p、q∈r，使p[X]=q[X]=t[X]，而p[Y]=t[Y]，p[Z]=s[Z]，q[Y]=s[Y]，q[Z]=t[Z]。 設(shè)t[XW]=s[XW]，我們以上構(gòu)造的元組p和q，是某部分屬性在s和t上翻轉(zhuǎn)而成，所以p[W]=q[W]，可知p[XW]=q[XW]，同理p[YV]=t[YV](由V?W知t[V]=s[V])，q[YV]=s[YV]，p[U-YV-XW]=s[U-YV-XW](因為U-YV-XW?Z)，q[U-YV-XW]=t[U-YV-XW]。所以XW→→YV。 A6：若X→→Y，Y→→Z則X→→Z-Y 由Y→→Z容易證得Y→→Z-Y。設(shè)R1=U-X-Y，R2=U-Y-Z，R3=U-X-Z+Y。已知X→→Y，設(shè)r是R上的任一關(guān)系，s、t∈r，且t[X]=s[X]，則存在元組p、q∈r，使p[X]=q[X]=t[X]，而p[Y]=t[Y]，p[R1]=s[R1]，q[Y]=s[Y]，q[R1]=t[R1]。對元組t、p，已知t[Y]=p[Y]，t[X]=p[X]，由Y→→Z-Y知：存在元組m∈r，使m[Z-Y]=p[Z-Y]，m[R2]=t[R2]。因為(Z-Y)?R1，又p[R1]=s[R1]，所以m[Z-Y]=s[Z-Y]。因為元組p和s在除屬性Y之外的屬性上值相等，所以m[R2]=t[R2]，另外元組m是由元組t和p交換某些屬性上的值而產(chǎn)生的，而t和p在屬性X上值相等，顯然m[X]=t[X]，所以m[U-(Z-Y)]=t[U-(Z-Y)]，即m[R3]=t[R3]。對元組s、q，同理可知s[Y]=q[Y]，存在元組n，使n[Z-Y]=t[Z-Y]，即n[R3]=s[R3]。綜上所述，對t、s∈r，t[X]=s[X]，存在元組m、n∈r，使m[X]=n[X]=t[X]，而m[Z-Y]=s[Z-Y]，m[R3]=t[R3]，n[Z-Y]=t[Z-Y]，n[R3]=s[R3]。 A8：若X→→Y，W→Z，W∩Y=Φ，Z?Y，則X→Z。設(shè)r是R上的任一關(guān)系，對任意s、t∈r，若t[X]=s[X]，設(shè)R1=U-X-Y，則根據(jù)X→→Y知：存在元組p、q∈r，使p[X]=q[X]=t[X]，而p[Y]=t[Y]，p[R1]=s[R1]，q[Y]=s[Y]，q[R1]=t[R1]。因為W∩Y=Φ，所以s[W]=p[W]，又W→Z，所以s[Z]=p[Z];因為Z?Y，且p[Y]=t[Y]，所以p[Z]=t[Z];所以可得t[Z]=s[Z]，即X→Z。

　　11 . 關(guān)系模式規(guī)范化需要考慮數(shù)據(jù)間的依賴關(guān)系，人們已經(jīng)提出了多種類型的數(shù)據(jù)依賴，其中最重要的是_____________和___________。 (問答題)

　　參考答案：

　　函數(shù)依賴 多值依賴

　　12 .設(shè)關(guān)系模式為R(U，F(xiàn))，X，Y為屬性集，X，Y?U。證明: (1)X?XF+ (2)(XF+)F+=XF+ (3)若X?Y則XF+?YF+ (4)UF+=U (填空題)

　　參考答案：

　　(1)因為X→X 所以X?XF+ (根據(jù)XF+的定義)(2) *解析 1 要證明(XF+)F+=XF+ 只要證明 XF+ ?(XF+)F+ 并且(XF+)F+ ? XF+ 而XF+ ?(XF+)F+ 是顯然的，因此只要證明(XF+)F+ ? XF+ 2 這里的證明要用集合論的基本知識，同學們應(yīng)該復(fù)習一下有關(guān)集合論中的有關(guān)概念和證明方法。證明：下面求證(XF+)F+?XF+ 任意A∈(XF+)F+，(由題意知)存在B∈XF+，使B→A能由F根據(jù)Armstrong公理導出，而從B∈XF+ 可知X→B能由F根據(jù)Armstrong公理導出，根據(jù)公理中的傳遞律可知X→A能由F根據(jù)Armstrong公理導出，所以A∈XF+，因此(XF+)F+ ? XF+。所以(XF+)F+=XF+。 (3)對任意A∈XF+ ，可知X→A能由F根據(jù)Armstrong公理導出，因為X?Y，由自反律可以得Y→X，由傳遞律得Y→A，所以A∈YF+ 。 XF+?YF+ 得證。 (4) *解析 要證明UF+=U 只要證明 U? UF+ 并且 UF+ ?U U? UF+ 是顯然的;下面證明UF+? U，即證U由F據(jù)Armstrong公理推出的集合仍屬于U： 自反律：Y ? U，U→Y為F所蘊含。顯然U由F據(jù)Armstrong公理的自反律推出的Y仍屬于U; 增廣律：U→Y為F所蘊含，且Z?U，則U Z→YZ為F所蘊含，YZ?U。 傳遞律：U→Y 和Y→Z都為F所蘊含，則U→Z為F所蘊含。Z?U。

　　13 . 設(shè)關(guān)系R(U)，X，Y∈U，X→Y是R的一個函數(shù)依賴，如果存在X′∈X，使X′→Y成立，則稱函數(shù)依賴X→Y是___________ 函數(shù)依賴。 (問答題)

　　參考答案：

　　部分

　　14 .設(shè)關(guān)系模式為R(U，F(xiàn))，若XF+=X，則稱X相對于F是飽和的。 定義飽和集?F={X | X=XF+}， 試證明?F = {XF+ | X?U }。 (填空題)

　　參考答案：

　　證：1)證 ?F ? {XF+|X?U} 對任意A∈?F ，由已知條件得A=AF+ ，因為A?U，A=AF+ 所以A∈{XF+|X?U}。 2)證 {XF+| X?U} ? ?F 對任意A∈{AF+|A?U}，因為(AF+)F+ = AF+(見習題7)，令B=AF+，有BF+ =B 所以 B∈?F 即AF+∈?F ，A∈?F 得證。

　　15 . 在關(guān)系模式R(A，B，C，D)中，存在函數(shù)依賴關(guān)系{A→B，A→C，A→D，(B，C)→A}，則候選碼是___________，關(guān)系模式R(A，B，C，D)屬于____________ 。 (問答題)

　　參考答案：

　　A，(B，C) 2NF

　　16 . 在關(guān)系模式R(D，E，G)中，存在函數(shù)依賴關(guān)系{E→D，(D，G)→E}，則候選碼是__________，關(guān)系模式R(D，E，G)屬于____________。 (問答題)

　　參考答案：

　　(E，G)，(D，G) 3NF

　　17 . 在關(guān)系模式R(A，C，D)中，存在函數(shù)依賴關(guān)系{ A→C，A→D }，則候選碼是___________ ，關(guān)系模式R(A，C，D)最高可以達到_____________ 。 (問答題)

　　參考答案：

　　A BCNF

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