全國(guó)計(jì)算機(jī)等級(jí)考試四級(jí)復(fù)習(xí)綱要二

三、數(shù)組

　　線性表（包括棧和隊(duì)列）都是線性結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)中的每個(gè)元素只是無(wú)結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)元素。我們對(duì)線性表作進(jìn)一步的推廣，使結(jié)構(gòu)中的元素本身也可以是具有某種結(jié)構(gòu)（如向量）的數(shù)據(jù)，從而引出了數(shù)組這一種新的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

　　（1）數(shù)組的定義和運(yùn)算

　　類似于線性表，一個(gè)二維數(shù)組（或稱矩陣）可以看成是由m個(gè)行向量所組成的向量，也可以看成是由n個(gè)列向量所組成的向量。
　　
　　對(duì)于數(shù)組的運(yùn)算，主要有檢索或存取數(shù)組中某個(gè)元素。

　�。�2）數(shù)組的順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

　　由于對(duì)數(shù)組一般不作插入或刪除運(yùn)算，因此，一旦數(shù)組被建立，則結(jié)構(gòu)中的元素個(gè)數(shù)和元素之間的關(guān)系就不再發(fā)生變動(dòng)。對(duì)這種情況采用順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)表示數(shù)組是比較恰當(dāng)?shù)摹?/P>

　　由于計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)單元是一維的結(jié)構(gòu)，而數(shù)組是多維的結(jié)構(gòu)，因此就必須把多維結(jié)構(gòu)映射為一維的結(jié)構(gòu)，即把多維結(jié)構(gòu)按一定次序排列成一維的。
　　
　　四、樹型結(jié)構(gòu)
　　
　　線性表、棧和隊(duì)列等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)所表達(dá)和處理的數(shù)據(jù)以線性結(jié)構(gòu)為組織形式。然而，在計(jì)算機(jī)科學(xué)和計(jì)算機(jī)應(yīng)用的各個(gè)領(lǐng)域中，存在著大量需要用更復(fù)雜的邏輯結(jié)構(gòu)加以表示的問(wèn)題。因此必須研究更復(fù)雜的邏輯結(jié)構(gòu)及相應(yīng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。樹形結(jié)構(gòu)就是這些更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)中最重要的一類。

　　1.樹的基本概念

　　樹是一類重要的樹形結(jié)構(gòu)，其定義如下:樹是n（n>0）個(gè)結(jié)點(diǎn)的有窮集合，滿足:

　�。�1）有且僅有一個(gè)稱為根的結(jié)點(diǎn);

　　（2）其余結(jié)點(diǎn)分為m（m≥0）個(gè)互不相交的非空集合，T 1 ，T 2 ，…，T m ，這些集合中的每一個(gè)都是一棵樹，稱為根的子樹。
　　
　　在樹上，根結(jié)點(diǎn)沒(méi)有直接前趨。對(duì)樹上任一結(jié)點(diǎn)X來(lái)說(shuō)，X是它的任一子樹的根結(jié)點(diǎn)惟一的直接前趨。為了討論方便，我們引入樹的若干習(xí)慣術(shù)語(yǔ)。樹上任一結(jié)點(diǎn)所擁有的子樹的數(shù)目稱為該結(jié)點(diǎn)的度。度為0的結(jié)點(diǎn)稱為葉子或終端結(jié)點(diǎn)。度大于0的結(jié)點(diǎn)稱為非終端結(jié)點(diǎn)或分支點(diǎn)。一棵樹中所有結(jié)點(diǎn)的度的最大值稱為該樹的度。若樹中結(jié)點(diǎn)A是結(jié)點(diǎn)B的直接前趨，則稱A為B的雙親或父結(jié)點(diǎn)，稱B為A的孩子（即“子女”）或子結(jié)點(diǎn)。易知任何結(jié)點(diǎn)A的孩子B也就是A的一棵子樹的根結(jié)點(diǎn)，父結(jié)點(diǎn)相同的結(jié)點(diǎn)互稱為兄弟。一棵樹上的任何結(jié)點(diǎn)（不包括根本身）稱為根的子孫。反之若B是A的子孫，則稱A是B的祖先，結(jié)點(diǎn)的層數(shù)（或深度）從根開始算起:根的層數(shù)為1，其余結(jié)點(diǎn)的層數(shù)為其雙親的層數(shù)加1。一棵樹中所有結(jié)點(diǎn)層數(shù)的最大值稱為該樹的高度或深度。
　　
　　樹（及一切樹形結(jié)構(gòu)）是一種“分支層次”結(jié)構(gòu)。所謂“分支”是指樹中任一結(jié)點(diǎn)的子孫可以按它們所在的子樹的不同而劃分成不同的“分支”;所謂“層次”是指樹上所有結(jié)點(diǎn)可以按它們的層數(shù)劃分不同的“層次”。在實(shí)際應(yīng)用中，樹中的一個(gè)結(jié)點(diǎn)可用來(lái)存儲(chǔ)實(shí)際問(wèn)題中的一個(gè)數(shù)據(jù)元素，而結(jié)點(diǎn)間的邏輯關(guān)系（即父結(jié)點(diǎn)與子結(jié)點(diǎn)之間的鄰接關(guān)系）往往用來(lái)表示數(shù)據(jù)元素之間的某種重要的、必須加以表達(dá)的關(guān)系。
　　
　　用圖示法表示任何樹形結(jié)構(gòu)時(shí)，箭頭的方向總是從上到下，即從父結(jié)點(diǎn)指向子結(jié)點(diǎn)，因此，可以簡(jiǎn)單地用連線代替箭頭。

　　2.樹的基本運(yùn)算包括:

　�、偾蟾鵕OOT（T），引用型運(yùn)算，其結(jié)果是結(jié)點(diǎn)X在樹T的根結(jié)點(diǎn)。

　�、谇箅p親PARENT（T，X），引用型運(yùn)算，其結(jié)果是結(jié)點(diǎn)X在樹T上的雙親結(jié)點(diǎn);若X是樹T的根或X不在T上，則結(jié)果為一特殊標(biāo)志。

　�、矍蠛⒆覥HILD（T，X，i），引用型運(yùn)算，其結(jié)果是樹T上的結(jié)點(diǎn)X的第i個(gè)孩子;若X不在T上或X沒(méi)有第i個(gè)孩子，則結(jié)果為一特殊標(biāo)志。

　�、芙�樹CREATE（X，T 1 ，…，T k ）k≥1，加工型運(yùn)算，其作用是建立一棵以X為根，以T 1 ，…，T k 為第1，…k棵子樹的樹。
　　
　�、菁糁�DELETE（T，X，i），加工型運(yùn)算，其作用是刪除樹T上結(jié)點(diǎn)X的第i棵子樹;若T無(wú)第i棵子樹，則為空操作。
　　
　　3.二叉樹

　�。�1）二叉樹的基本概念

　　二叉樹是結(jié)點(diǎn)的有窮集合，它或者是空集，或者同時(shí)滿足下述兩個(gè)條件:（1）有且僅有一個(gè)稱為根的結(jié)點(diǎn):

　　（2）其余結(jié)點(diǎn)分為兩個(gè)互不相交的集合T 1 、T 2 ，T 1 與T 2 都是二叉樹，并且T 1 與T 2 有順序關(guān)系（T 1 在T 2 之前），它們分別稱為根的左子樹和右子樹。

　　二叉樹是一類與樹不同的樹形結(jié)構(gòu)。它們的區(qū)別是:第一，二叉樹可以是空集，這種二叉樹稱為空二叉樹。第二，二叉樹的任一結(jié)點(diǎn)都有兩棵子樹（當(dāng)然，它們中的任何一個(gè)可以是空子樹），并且這兩棵子樹之間有次序關(guān)系，也就是說(shuō)，它們的位置不能交換。相應(yīng)地，二叉樹上任一結(jié)點(diǎn)左、右子樹的根分別稱為該結(jié)點(diǎn)的左孩子和右孩子。另外，二叉樹上任一結(jié)點(diǎn)的度定義為該結(jié)點(diǎn)的孩子數(shù)（即非空子樹數(shù)）。除這個(gè)幾個(gè)術(shù)語(yǔ)之外，樹的其它術(shù)語(yǔ)也適用于二叉樹。
　　
　　特別值得注意的是，由于二叉樹上任一結(jié)點(diǎn)的子樹有左、右之分，因此即使一結(jié)點(diǎn)只有一棵非空子樹，仍須區(qū)別它是該結(jié)點(diǎn)的左子樹還是右子樹，這是與樹不同的。

　�。�2）二叉樹的性質(zhì)

　　在某些情況下，了解二叉樹的下列性質(zhì)是有幫助的。
　　
　　4.二叉樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)
　　
　　二叉樹通常有兩類存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)和鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)。

　�。�1）二叉樹的鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)

　　二叉樹有不同的鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)，其中最常用的是二叉樹鏈表與三叉鏈表。

　　其中，data域稱為數(shù)據(jù)域，用于存儲(chǔ)二叉樹結(jié)點(diǎn)中的數(shù)據(jù)元素;lchild域稱為左孩子指針域，用于存放指向本結(jié)點(diǎn)左孩子的指針（這個(gè)指針及指針域有時(shí)簡(jiǎn)稱為左指針）。類似地，rchild域稱為右孩子指針域，用于存放指向本結(jié)點(diǎn)右孩子的指針（簡(jiǎn)稱右指針）。二叉鏈表中的所有存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)通過(guò)它們的左、右指針的鏈接而形成一個(gè)整體。此外，每個(gè)二叉鏈表還必須有一個(gè)指向根結(jié)點(diǎn)的指針，該指針?lè)Q為根指針。根指針具有標(biāo)識(shí)二叉鏈表的作用，對(duì)二叉鏈表的訪問(wèn)只能從根指針開始。值得注意的是，二叉鏈表中每個(gè)存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)的每個(gè)指針域必須有一個(gè)值，這個(gè)值或者是指向該結(jié)點(diǎn)的一個(gè)孩子的指針，或者是空指針NULL。
　　
　　若二叉樹為空，則root=NULL。若某結(jié)點(diǎn)的某個(gè)孩子不存在，則相應(yīng)的指針為空。具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹中，一共有2n個(gè)指針域，其中只有n-1個(gè)用來(lái)指向結(jié)點(diǎn)的左右孩子，其余的n+1個(gè)指針域?yàn)镹ULL。

　　二叉樹的鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)操作方便，表達(dá)簡(jiǎn)明（二叉樹的邏輯關(guān)系———結(jié)點(diǎn)間的父子關(guān)系———在二叉鏈表和三叉鏈表中被直接表達(dá)成對(duì)應(yīng)存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)之間的指針），因而成為二叉樹最常用的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)。然而在某些情況下，二叉樹的順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)也很有用。

　�。�2）二叉樹的順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

　　二叉樹的順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)由一個(gè)一維數(shù)組構(gòu)成，二叉樹上的結(jié)點(diǎn)按某種次序分別存入該數(shù)組的各個(gè)單元。顯然，這里的關(guān)鍵在于結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)次序，這種次序應(yīng)能反映結(jié)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系（父子關(guān)系），否則二叉樹的基本運(yùn)算就難以實(shí)現(xiàn)。
　　
　　由二叉樹的性質(zhì)5可知，若對(duì)任一完全二叉樹上的所有結(jié)點(diǎn)按層編號(hào)，則結(jié)點(diǎn)編號(hào)之間的數(shù)值關(guān)系可以準(zhǔn)確地反映結(jié)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系。因此，對(duì)于任何完全二叉樹來(lái)說(shuō)，可以采用“以編號(hào)為地址”的策略將結(jié)點(diǎn)存入作為順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的一維數(shù)組。具體地說(shuō)就是:將編號(hào)為i的結(jié)點(diǎn)存入一維數(shù)組的第i個(gè)單元。

　　在這一存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)中，由于一結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)位置（即下標(biāo)）也就是它的編號(hào)，故結(jié)點(diǎn)間的邏輯關(guān)系可通過(guò)它們下標(biāo)間的數(shù)值關(guān)系確定。

　　5.二叉樹的遍歷

　　由于二叉樹的基本運(yùn)算在鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)上的實(shí)現(xiàn)比較簡(jiǎn)單，無(wú)需詳加討論。下面研究二叉樹的一種較為復(fù)雜的重要運(yùn)算———遍歷及其在二叉鏈表上的實(shí)現(xiàn)。
　　
　　遍歷一棵二叉樹就是按某種次序系統(tǒng)地“訪問(wèn)”二叉樹上的所有結(jié)點(diǎn)，使每個(gè)結(jié)點(diǎn)恰好被“訪問(wèn)”一次。所謂“訪問(wèn)”一個(gè)結(jié)點(diǎn)，是指對(duì)該結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)域進(jìn)行某種處理，處理的內(nèi)容依具體問(wèn)題而定，通常比較簡(jiǎn)單。遍歷運(yùn)算的關(guān)鍵在于訪問(wèn)結(jié)點(diǎn)的“次序”，這種次序應(yīng)保證二叉樹上的每個(gè)結(jié)點(diǎn)均被訪問(wèn)一次且僅一次。

　　由定義可知，一棵二叉樹由三部分組成:根、左子樹和右子樹。因此對(duì)二叉樹的遍歷也可相應(yīng)地分解成三項(xiàng)“子任務(wù)”:

　�、僭L問(wèn)根根點(diǎn);

　�、诒闅v左子樹（即依次訪問(wèn)左子樹上的全部結(jié)點(diǎn)）;③遍歷右子樹（即依次訪問(wèn)右子樹上的全部結(jié)點(diǎn)）。

　　因?yàn)樽�、右子樹都是二叉樹（可以是空二叉樹），�?duì)它們的遍歷可以按上述方法繼續(xù)分解，直到每棵子樹均為空二叉樹為止。由此可見，上述三項(xiàng)子任務(wù)之間的次序決定了遍歷的次序。若以D、L、R分別表示這三項(xiàng)子任務(wù)，則人有六種可能的次序:DLR、LDR、LRD、DRL、RDL和RLD。通常限定“先左后右”，即子任務(wù)②在子任務(wù)③之前完成，這樣就只剩下前三種次序，按這三種次序進(jìn)行的遍歷分別稱為先根遍歷（或前序遍歷）、中根（或中序）遍歷、后根（或后序）遍歷。三種遍歷方法的定義如下:

　　先根遍歷 若需遍歷的二叉樹為空，執(zhí)行空操作;否則，依次執(zhí)行下列操作:

　�、僭L問(wèn)根結(jié)點(diǎn);
　　
　�、谙雀�遍歷左子樹;
　　
　�、巯雀�遍歷右子樹。

　　中根遍歷 若需遍歷的二叉樹為空，執(zhí)行空操作，否則，依次執(zhí)行下列操作:

　�、僦懈�遍歷左子樹;②訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn);③中根遍右子樹。

　　后根遍歷 若需遍歷的二叉樹為空，執(zhí)行空操作，否則，依次執(zhí)行下列操作:
　　
　　①后根遍歷左子樹。②后根遍歷右子樹。③訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)。

　　顯然，上述三種遍歷方法的區(qū)別在于執(zhí)行子任務(wù)“訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)”的“時(shí)機(jī)”不同;最先（最后、在中間）執(zhí)行此子任務(wù)，則為先根（后根、中根）遍歷。

　　按某種遍歷方法遍歷一棵二叉樹，將得到該二叉樹上所有結(jié)點(diǎn)的訪問(wèn)序列。

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