高數(shù)一考試大綱

　　本大綱適用于工學(xué)理學(xué)(生物科學(xué)類(lèi)、地理科學(xué)類(lèi)、環(huán)境科學(xué)類(lèi)、心理學(xué)類(lèi)等四個(gè)一級(jí)學(xué)科除外)專(zhuān)業(yè)的考生。

　　總要求考生應(yīng)按本大綱的要求，了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論;學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系;應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力;能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準(zhǔn)確地計(jì)算;能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

　　本大綱對(duì)內(nèi)容的要求由低到高，對(duì)概念和理論分為“了解”和“理解”兩個(gè)層次;對(duì)方法和運(yùn)算分為“會(huì)”、“掌握”和“熟練掌握”三個(gè)層次。

　　復(fù)習(xí)考試內(nèi)容

　　一、函數(shù)、極限和連續(xù)

　　(一)函數(shù)

　　1.知識(shí)范圍

　　(1)函數(shù)的概念

　　函數(shù)的定義 函數(shù)的表示法 分段函數(shù) 隱函數(shù)

　　(2)函數(shù)的性質(zhì)

　　單調(diào)性 奇偶性 有界性 周期性

　　(3)反函數(shù)

　　反函數(shù)的定義 反函數(shù)的圖像

　　(4)基本初等函數(shù)

　　冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù)

　　(5)函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算

　　(6)初等函數(shù)

　　2.要求

　　(1)理解函數(shù)的概念。會(huì)求函數(shù)的表達(dá)式、定義域及函數(shù)值。會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，會(huì)作出簡(jiǎn)單的分段函數(shù)的圖像。

　　(2)理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。

　　(3)了解函數(shù) 與其反函數(shù) 之間的關(guān)系(定義域、值域、圖像)，會(huì)求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。

　　(4)熟練掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算。

　　(5)掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖像。

　　(6)了解初等函數(shù)的概念。

　　(7)會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。

　　(二)極限

　　1.知識(shí)范圍

　　(1)數(shù)列極限的概念

　　數(shù)列 數(shù)列極限的定義

　　(2)數(shù)列極限的性質(zhì)

　　唯一性 有界性 四則運(yùn)算法則 夾逼定理 單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理

　　(3)函數(shù)極限的概念

　　函數(shù)在一點(diǎn)處極限的定義 左、右極限及其與極限的關(guān)系 趨于無(wú)窮 時(shí)函數(shù)的極限 函數(shù)極限的幾何意義

　　(4)函數(shù)極限的性質(zhì)

　　唯一性 四則運(yùn)算法則 夾通定理

　　(5)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

　　無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的定義 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系 無(wú)窮小量的性質(zhì) 無(wú)窮小量的階

　　(6)兩個(gè)重要極限

　　2.要求

　　(1)理解極限的概念(對(duì)極限定義中“ ”、“ ”、“ ”等形式的描述不作要求)。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。

　　(2)了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。

　　(3)理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較(高階、低階、同階和等價(jià))。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。

　　(4)熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

　　(三)連續(xù)

　　1.知識(shí)范圍

　　(1)函數(shù)連續(xù)的概念

　　函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義 左連續(xù)與右連續(xù) 函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(lèi)

　　(2)函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)

　　連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 反函數(shù)的連續(xù)性

　　(3)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

　　有界性定理 最大值與最小值定理 介值定理(包括零點(diǎn)定理)

　　(4)初等函數(shù)的連續(xù)性

　　2.要求

　　(1)理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)(含分段函數(shù))在一點(diǎn)處的連續(xù)性的方法。

　　(2)會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類(lèi)型。

　　(3)掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用介值定理推證一些簡(jiǎn)單命題。

　　(4)理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用連續(xù)性求極限。

　　二、一元函數(shù)微分學(xué)

　　(一)導(dǎo)數(shù)與微分

　　1.知識(shí)范圍

　　(1)導(dǎo)數(shù)概念

　　導(dǎo)數(shù)的定義 左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

　　(2)求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式

　　導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的基本公式

　　(3)求導(dǎo)方法

　　復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 隱函數(shù)的求導(dǎo)法 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

　　(4)高階導(dǎo)數(shù)

　　高階導(dǎo)數(shù)的定義 高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

　　(5)微分

　　微分的定義 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 微分法則 一階微分形式不變性

　　2.要求

　　(1)理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，掌握用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法。

　　(2)會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。

　　(3)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

　　(4)掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

　　(5)理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù)。

　　(6)理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。

　　(二)微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

　　1.知識(shí)范圍

　　(1)微分中值定理

　　羅爾(Rolle)定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理

　　(2)洛必達(dá)(L‘Hospital)法則

　　(3)函數(shù)增減性的判定法

　　(4)函數(shù)的極值與極值點(diǎn) 最大值與最小值

　　(5)曲線的凹凸性、拐點(diǎn)

　　(6)曲線的水平漸近線與鉛直漸近線

　　2.要求

　　(1)理解羅爾定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。會(huì)用羅爾定理證明方程根的存在性。會(huì)用拉格朗日中值定理證明簡(jiǎn)單的不等式。

　　(2)熟練掌握用洛必達(dá)法則求各種型未定式的極限的方法。

　　(3)掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡(jiǎn)單的不等式。

　　(4)理解函數(shù)極值的概念。掌握求函數(shù)的極值、最大值與最小值的方法，會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

　　(5)會(huì)判斷曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。

　　(6)會(huì)求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線。

　　(7)會(huì)作出簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形。

　　三、一元函數(shù)積分學(xué)

　　(一)不定積分

　　1.知識(shí)范圍

　　(1)不定積分

　　原函數(shù)與不定積分的定義 原函數(shù)存在定理 不定積分的性質(zhì)

　　(2)基本積分公式

　　(3)換元積分法

　　第一換元法(湊微分法) 第二換元法

　　(4)分部積分法

　　(5)一些簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分

　　2.要求

　　(1)理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。

　　(2)熟練掌握不定積分的基本公式。

　　(3)熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法(限于三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換)。

　　(4)熟練掌握不定積分的分部積分法。

　　(5)會(huì)求簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分。

　　(二)定積分

　　1.知識(shí)范圍

　　(1)定積分的概念

　　定積分的定義及其幾何意義 可積條件

　　(2)定積分的性質(zhì)

　　(3)定積分的計(jì)算

　　變上限積分 牛頓—萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式 換元積分法 分部積分法

　　(4)無(wú)窮區(qū)間的廣義積分

　　(5)定積分的應(yīng)用

　　平面圖形的面積 旋轉(zhuǎn)體體積 物體沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)變力所作的功

　　2.要求

　　(1)理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件。

　　(2)掌握定積分的基本性質(zhì)。

　　(3)理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。

　　(4)熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。

　　(5)掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

　　(6)理解無(wú)窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。

　　(7)掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體體積。

　　會(huì)用定積分求沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)變力所作的功。

　　四、向量代數(shù)與空間解析幾何

　　(一)向量代數(shù)

　　1.知識(shí)范圍

　　(1)向量的概念

　　向量的定義 向量的模 單位向量 向量在坐標(biāo)軸上的投影 向量的坐標(biāo)表示法 向量的方向余弦

　　(2)向量的線性運(yùn)算

　　向量的加法 向量的減法 向量的數(shù)乘

　　(3)向量的數(shù)量積

　　二向量的夾角 二向量垂直的充分必要條件

　　(4)二向量的向量積 二向量平行的充分必要條件

　　2.要求

　　(1)理解向量的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示法，會(huì)求單位向量、方向余弦、向量在坐標(biāo)軸上的投影。

　　(2)熟練掌握向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積與向量積的計(jì)算方法。

　　(3)熟練掌握二向量平行、垂直的充分必要條件。

　　(二)平面與直線

　　1.知識(shí)范圍

　　(1)常見(jiàn)的平面方程

　　點(diǎn)法式方程 一般式方程

　　(2)兩平面的位置關(guān)系(平行、垂直和斜交)

　　(3)點(diǎn)到平面的距離

　　(4)空間直線方程

　　標(biāo)準(zhǔn)式方程(又稱對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程)一般式方程 參數(shù)式方程

　　(5)兩直線的位置關(guān)系(平行、垂直)

　　(6)直線與平面的位置關(guān)系(平行、垂直和直線在平面上)

　　2.要求

　　(1)會(huì)求平面的點(diǎn)法式方程、一般式方程。會(huì)判定兩平面的垂直、平行。會(huì)求兩平面間的夾角。

　　(2)會(huì)求點(diǎn)到平面的距離。

　　(3)了解直線的一般式方程，會(huì)求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、參數(shù)式方程。會(huì)判定兩直線平行、垂直。

　　(4)會(huì)判定直線與平面間的關(guān)系(垂直、平行、直線在平面上)。

　　(三)簡(jiǎn)單的二次曲面

　　1.知識(shí)范圍

　　球面 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面 旋轉(zhuǎn)拋物面 圓錐面 橢球面

　　2.要求

　　了解球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)拋物面、圓錐面和橢球面的方程及其圖形。

　　五、多元函數(shù)微積分學(xué)

　　(一)多元函數(shù)微分學(xué)

　　1.知識(shí)范圍

　　(1)多元函數(shù)

　　多元函數(shù)的定義 二元函數(shù)的幾何意義 二元函數(shù)極限與連續(xù)的概念

　　(2)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

　　偏導(dǎo)數(shù) 全微分 二階偏導(dǎo)數(shù)

　　(3)復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

　　(4)隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

　　(5)二元函數(shù)的無(wú)條件極值與條件極值

　　2.要求

　　(1)了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義。會(huì)求二次函數(shù)的表達(dá)式及定義域。了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)概念(對(duì)計(jì)算不作要求)。

　　(2)理解偏導(dǎo)數(shù)概念，了解偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，了解全微分概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。

　　(3)掌握二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法。

　　(4)掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。

　　(5)會(huì)求二元函數(shù)的全微分。

　　(6)掌握由方程 所確定的隱函數(shù) 的一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

　　(7)會(huì)求二元函數(shù)的無(wú)條件極值。會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求二元函數(shù)的條件極值。

　　(二)二重積分

　　1.知識(shí)范圍

　　(1)二重積分的概念

　　二重積分的定義二重積分的幾何意義

　　(2)二重積分的性質(zhì)

　　(3)二重積分的計(jì)算

　　(4)二重積分的應(yīng)用

　　2.要求

　　(1)理解二重積分的概念及其性質(zhì)。

　　(2)掌握二重積分在直角坐標(biāo)系及極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。

　　(3)會(huì)用二重積分解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題(限于空間封閉曲面所圍成的有界區(qū)域的體積、平面薄板質(zhì)量)。

　　六、無(wú)窮級(jí)數(shù)

　　(一)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

　　1.知識(shí)范圍

　　(1)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

　　數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 級(jí)數(shù)收斂的必要條件

　　(2)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法

　　比較判別法 比值判別法

　　(3)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)

　　交錯(cuò)級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂 條件收斂 萊布尼茨判別法

　　2.要求

　　(1)理解級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念。掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件，了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。

　　(2)掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法。會(huì)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法。

　　(3)掌握幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)的收斂性。

　　(4)了解級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，會(huì)使用萊布尼茨判別法。

　　(二)冪級(jí)數(shù)

　　1.知識(shí)范圍

　　(1)冪級(jí)數(shù)的概念

　　收斂半徑 收斂區(qū)間

　　(2)冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

　　(3)將簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)

　　2.要求

　　(1)了解冪級(jí)數(shù)的概念。

　　(2)了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和、差、逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分)。

　　(3)掌握求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間(不要求討論端點(diǎn))的方法。

　　(4)會(huì)運(yùn)用麥克勞林(Maclaurin)公式，將一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。

　　七、常微分方程

　　(一)一階微分方程

　　1.知識(shí)范圍

　　(1)微分方程的概念

　　微分方程的定義 階 解 通解 初始條件 特解

　　(2)可分離變量的方程

　　(3)一階線性方程

　　2.要求

　　(1)理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。

　　(2)掌握可分離變量方程的解法。

　　(3)掌握一階線性方程的解法。

　　(二)可降價(jià)方程

　　1.知識(shí)范圍

　　(1) 型方程

　　(2) 型方程

　　2.要求

　　(1)會(huì)用降階法解 型方程。

　　(2)會(huì)用降階法解 型方程。

　　(三)二階線性微分方程

　　1.知識(shí)范圍

　　(1)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

　　(2)二階常系數(shù)齊次線性微分方程

　　(3)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

　　2.要求

　　(1)了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。

　　(2)掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

　　(3)掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法。

　　考試形式及試卷結(jié)構(gòu)

　　試卷總分：150分

　　考試時(shí)間：150分鐘

　　考試方式：閉卷，筆試

　　試卷內(nèi)容比例：

　　函數(shù)、極限和連續(xù) 約15%

　　一元函數(shù)微分學(xué) 約25%

　　一元函數(shù)積分學(xué) 約20%

　　多元函數(shù)微積分(含向量代數(shù)與空間解析幾何) 約20%

　　無(wú)窮級(jí)數(shù) 約10%

　　常微分方程 約10%

　　試卷題型比例：

　　選擇題 約15%

　　填空題 約25%

　　解答題 約60%

　　試題難易比例：

　　容易題 約30%

　　中等難度題 約50%

　　較難題 約20%

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