難點(diǎn)3  運(yùn)用向量法解題

平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線

AM的長；(2)∠CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值.

●案例探究

［例1］如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面��ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

(1)求證：C1C⊥BD.

(2)當(dāng)的值為多少時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明.

命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力.

知識依托：解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單.

錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.

技巧與方法：利用a⊥ba·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可.

(1)證明：設(shè)=a, =b,=c,依題意，|a|=|b|，、、��中兩兩所成夾角為θ，于是=a－b，=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.

(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，

由

=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得

當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥DC1，同理可證當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥BD，

∴=1時(shí)，A1C⊥平面C1BD.

［例2］如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).

(1)求的長；

(2)求cos<>的值；

(3)求證：A1B⊥C1M.

命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來解決立體幾何問題.屬

★★★★級題目.

知識依托：解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O－xyz,進(jìn)而找到點(diǎn)的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo).

錯(cuò)解分析：本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo).

技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來找出其他的點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.

依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)

∴||=.

(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).

∴==(0，1，2)

=1×0+(－1)×1+2×2=3

||=

(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M()

∴

∴A1B⊥C1M.

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