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　　難點11 函數(shù)中的綜合問題

　　函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點和重點內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣.本節(jié)課主要幫助考生在掌握有關函數(shù)知識的基礎上進一步深化綜合運用知識的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)考生的思維和創(chuàng)新能力.

　　●難點磁場

　　(★★★★★)設函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意實數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x>0時f(x)<0且f(3)=-4.

　　(1)求證：f(x)為奇函數(shù);

　　(2)在區(qū)間[-9，9]上，求f(x)的最值.

　　●案例探究

　　[例1]設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關于直線x=1對稱，對任意x1、x2∈[0, ],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.

　　(1)求f( )、f( );

　　(2)證明f(x)是周期函數(shù);

　　(3)記an=f(n+ ),求 命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識，還考查運算能力和邏輯思維能力.

　　知識依托：認真分析處理好各知識的相互聯(lián)系，抓住條件f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)找到問題的突破口.

　　錯解分析：不會利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)進行合理變形.

　　技巧與方法：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)變形為 是解決問題的關鍵.

　　(1) 解：因為對x1,x2∈[0, ],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)= ≥0,

　　x∈[0,1]

　　又因為f(1)=f( + )=f( )·f( )=[f( )]2

　　f( )=f( + )=f( )·f( )=[f( )]2

　　又f(1)=a>0

　　∴f( )=a ,f( )=a (2)證明：依題意設y=f(x)關于直線x=1對稱，故f(x)=f(1+1-x),即f(x)=f(2-x),x∈R.

　　又由f(x)是偶函數(shù)知f(-x)=f(x),x∈R

　　∴f(-x)=f(2-x),x∈R.

　　將上式中-x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個

　　周期.

　　(3)解：由(1)知f(x)≥0,x∈[0,1]

　　∵f( )=f(n· )=f( +(n-1) )=f( )·f((n-1)· )

　　=……

　　=f( )·f( )·……·f( )

　　=[f( )]n=a ∴f( )=a .

　　又∵f(x)的一個周期是2

　　∴f(2n+ )=f( ),因此an=a ∴ [例2]甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元.

　　(1)把全程運輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域;

　　(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛?

　　命題意圖：本題考查建立函數(shù)的模型、不等式性質(zhì)、最值等知識，還考查學生綜合運用所學數(shù)學知識解決實際問題的能力.

　　知識依托：運用建模、函數(shù)、數(shù)形結合、分類討論等思想方法.

　　錯解分析：不會將實際問題抽象轉化為具體的函數(shù)問題，易忽略對參變量的限制條件.

　　技巧與方法：四步法：(1)讀題;(2)建模;(3)求解;(4)評價.

　　解法一：(1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為 ,全程運輸成本為y=a· +bv2· =S( +bv)

　　∴所求函數(shù)及其定義域為y=S( +bv),v∈(0,c .

　　(2)依題意知，S、a、b、v均為正數(shù)

　　∴S( +bv)≥2S ①

　　當且僅當 =bv,即v= 時，①式中等號成立.若 ≤c則當v= 時，有ymin;

　　若 >c,則當v∈(0,c 時，有S( +bv)-S( +bc)

　　=S[( - )+(bv-bc)]= (c-v)(a-bcv)

　　∵c-v≥0,且c>bc2,∴a-bcv≥a-bc2>0

　　∴S( +bv)≥S( +bc),當且僅當v=c時等號成立，也即當v=c時，有ymin;

　　綜上可知，為使全程運輸成本y最小，當 ≤c時，行駛速度應為v= ,當 >c時行駛速度應為v=c.

　　解法二：(1)同解法一.

　　(2)∵函數(shù)y=x+ (k>0),x∈(0,+∞),當x∈(0, )時，y單調(diào)減小，當x∈( ,+∞)時y單調(diào)增加，當x= 時y取得最小值，而全程運輸成本函數(shù)為y=Sb(v+ ),v∈(0,c .

　　∴當 ≤c時，則當v= 時，y最小，若 >c時，則當v=c時，y最小.結論同上.

　　●錦囊妙計

　　在解決函數(shù)綜合問題時，要認真分析、處理好各種關系，把握問題的主線，運用相關的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決，尤其是注意等價轉化、分類討論、數(shù)形結合等思想的綜合運用.綜合問題的求解往往需要應用多種知識和技能.因此，必須全面掌握有關的函數(shù)知識，并且嚴謹審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件.

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