中科院研究生院碩士研究生入學考試

　　《高等代數(shù)》考試大綱

　　本《高等代數(shù)》考試大綱適用于中國科學院研究生院數(shù)學和系統(tǒng)科學等學科各專業(yè)碩士研究生入學考試。高等代數(shù)是大學數(shù)學系本科學生的最基本課程之一，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學生的必修基礎課。它的主要內容包括多項式、行列式和線性方程組、矩陣及其標準形、特征值和特征向量、線性變換和矩陣范數(shù)。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。

　　一、考試的基本要求

　　要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

　　二、考試方法和考試時間

　　高等代數(shù)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

　　三、考試內容

　　(一) 多項式

　　1. 一元多項式的因式、帶余除法公式及互素的概念及判別;

　　2. 復根存在定理;

　　3. 根與系數(shù)關系;

　　4. Sturm定理。

　　(二) 行列式

　　1. 行列式的置換、對換、置換奇偶性;

　　2. 行列式的定義，基本性質及計算;

　　3. Vandermonde行列式;

　　4. 行列式的代數(shù)余子式、Cramer法則。

　　(三) 矩陣

　　1. 矩陣基本運算、分塊矩陣運算;

　　2. 初等矩陣、初等變換和矩陣的秩;

　　3. 矩陣的逆、伴隨陣、線性方程組的矩陣形式;

　　4. 行列式乘積定理;

　　5. 矩陣和轉置、Hermite共軛;

　　6. 對角陣、三角陣、三對角陣;

　　7. 矩陣的跡、方陣多項式;

　　8. 廣義逆矩陣。

　　(四) 線性方程組求解

　　1. 線性方程組有解的充分必要條件;

　　2.Gauss消元法;

　　3.三角分解。

　　(五) 線性空間和線性變換;

　　1. 向量的線性相關和線性無關;

　　2. 線性空間的定義及性質;

　　3. 向量組的秩、線性空間的基及坐標;

　　4. 線性變換的矩陣表示;

　　5. 矩陣相似;

　　6. 不變子空間;

　　7. 子空間的直接和、維數(shù)公式;

　　8. 線性空間的同構。

　　(六) 特征值和特征向量

　　1. 特征值和特征多項式;

　　2. 特征向量、特征子空間、度數(shù)和重數(shù);

　　3. 非虧損矩陣的完全特征向量系和譜分解;

　　4. 特征值估計的圓盤定理;

　　5. 三對角矩陣的特征值與Sturm定理。

　　(七) 內積空間和等積變換

　　1. Euclid空間的標準正交基，施密特(Schmidt)正交化;

　　2. Gram行列式;

　　3. 正交變換及其矩陣表示;

　　4. 初等旋轉和鏡像變換;

　　5. QR分解;

　　6. 酉空間和酉變換;

　　7. 正交相似變換和酉相似變換;

　　8. 向量到子空間的距離、最小二乘。

　　(八) 二次型和對稱矩陣

　　1. 二次型及其標準形、慣性定理;

　　2. 實對稱矩陣正定的充分必要條件;

　　3. Rayleign商;

　　4. 極大-極小原理、極小-極大原理;

　　5. 正定矩陣的開方和Cholesky分解;

　　6. Hermite型和Hermite矩陣;

　　7. 正規(guī)矩陣。

　　(九) Jordan標準形

　　1. 向量的最小化零多項式;

　　2. 線性變換及矩陣的最小多項式;

　　3. 矩陣的Jordan標準形及其唯一性;

　　4. 初等因子和不變因子;

　　5. 矩陣函數(shù)。

　　(十) 極限和范數(shù)

　　1. 向量和矩陣的極限;

　　2. 向量范數(shù)和范數(shù)等價定理;

　　3. 相容范數(shù)和從屬范數(shù);

　　4. 矩陣依范數(shù)的收斂性。

　　四、掌握重點

　　(一) 行列式乘積定理及其應用

　　(二) 分塊矩陣運算及其應用

　　(三) 矩陣三角分解及其應用

　　(四) 矩陣的秩及其應用

　　(五) 線性空間的概念及性質

　　(六) 線性變換下的不變子空間及其矩陣表示

　　(七) 圓盤定理與特征值估計

　　(八) 二次型的標準形

　　(九) 實對稱矩陣及其性質

　　(十) 矩陣Jordan標準型的計算及其應用

　　(十一) 矩陣范數(shù)與矩陣收斂

　　五、主要參考書目

　　[1] 北京大學編《高等代數(shù)》，高等教育出版社，1978年3月第1版 ，2003年7月第3版 ，2003年9月第2次印刷.

　　[2] 復旦大學蔣爾雄等編《線性代數(shù)》，人民教育出版社，1988.

　　[3] 張禾瑞，郝鈵新，《高等代數(shù)》，高等教育出版社， 1997.

　　編制單位：中國科學院研究生院