[真題答案]2012年1月考研數(shù)學(xué)真題及答案

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　　張偉：大家好。

　　主持人：張老師看過(guò)試卷之后，覺(jué)得試卷整體難度是怎樣的?

　　張偉：我大概看了一下，題目雖然不完全，但是我基本上發(fā)現(xiàn)和2011難度基本是一致的。

　　主持人：下面請(qǐng)張老師給我們重點(diǎn)講一數(shù)(一)考了什么內(nèi)容，特點(diǎn)是什么樣的?

　　張偉：下面我點(diǎn)評(píng)一下今年的整體難度，估計(jì)一下分?jǐn)?shù)的情況，我相信對(duì)2013的同學(xué)怎么備考有一個(gè)指導(dǎo)性。我就題目說(shuō)一下。

　　那我們來(lái)看數(shù)學(xué)(一)的考題。我們選擇題的第一小題，這是一個(gè)典型的常規(guī)題目，漸近線的題目，我們?cè)��?jīng)反復(fù)的講漸近線有三種情況，所謂的水平、垂直，以及斜漸近線，如果求垂直漸近線，我們基本上只需要關(guān)注分母為零的點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)，正負(fù)1，如果取-1的話(huà)，分子也為0。所以，只需要看正1，X趨向1，它是無(wú)窮的，如果是水平的，趨向無(wú)窮，如果是無(wú)窮的話(huà)，正負(fù)無(wú)窮需要關(guān)注，而這個(gè)題目不需要，X趨向無(wú)窮，如果有水平的一定沒(méi)有斜的，顯然一個(gè)垂直，一個(gè)是水平的，只有兩個(gè)，答案是C。

　　第2小題也是一個(gè)基本題目，某一點(diǎn)處求導(dǎo)，函數(shù)表達(dá)非常復(fù)雜，我們用導(dǎo)數(shù)定義求，發(fā)現(xiàn)A選項(xiàng)是明顯正確的。

　　我相信第3小題考場(chǎng)上的同學(xué)出錯(cuò)率有可能比較高，這和1、2小題不太一樣，不是一個(gè)計(jì)算性選擇題，而是一個(gè)概念性，甚至是一個(gè)推理性的選擇題。這個(gè)題目我們無(wú)論是強(qiáng)化班、沖刺班還是點(diǎn)題班，都反復(fù)的講，應(yīng)該是一種特殊代入法，你們可以通過(guò)舉特例，A選項(xiàng)讓分子直接等于X的絕對(duì)值加上Y的絕對(duì)值，它肯定是不可微的。所以，A選項(xiàng)明顯錯(cuò)誤。同樣，C、D選項(xiàng)也是完全類(lèi)似的，如果保證可微，根本不能保證極限的存在，該題目答案是B。第3小題如果出一個(gè)小的證明題難度也是比較大的。

　　第5題，線性相關(guān)，如果你計(jì)算能力好的話(huà)，α3，α4是局部成比例的，你很容易用α3+α4，結(jié)果出現(xiàn)0，0，C3+C4。所以，1、3、4肯定相關(guān)。如果計(jì)算能力過(guò)關(guān)，毫無(wú)疑問(wèn)，答案是C。只要你計(jì)算能力過(guò)關(guān)就沒(méi)有絲毫難度。

　　第6個(gè)選擇題，和我們以前的考研真題是完全一樣的，基本上是換湯不換藥，某種程度上甚至可以說(shuō)是原題，我這樣講，這個(gè)題目我們有一種非常好的方法，做選擇題的特殊值代入法，α1是1，0，0，α2是0，1，0，α3是0，0，1，代入以后很容易求答案，計(jì)算很簡(jiǎn)單。

　　第8題，我們強(qiáng)化班和沖刺班，線段分成兩段，兩者相加是1，有明顯的線性關(guān)系，直接選D，非�；�本。

　　填空第10小題，常規(guī)方法做也是可以的，但是我希望這個(gè)題目，積分下限是0，上限是2，通過(guò)配方能夠變成一個(gè)“X-1”作為整體，如果變成上限1，下限-1，利用奇偶性，以及定積分的幾何意義，很容易解決。如果你掌握方法，計(jì)算量非常小。

　　第13小題，我們同學(xué)往往比較怵，因?yàn)閄是一個(gè)抽象的向量，我們以后通過(guò)閱卷將會(huì)發(fā)現(xiàn)得分率不會(huì)太高，也是特殊值代入法，X是一個(gè)特殊的單位向量，比如說(shuō)X是1，0，0，往下很容易代，這也是一個(gè)基本題目。只要把我們以前講的基本題目掌握了，鎖定高分沒(méi)有任何疑問(wèn)。

　　第15小題，這屬于一個(gè)基本題型，屬于不等式的證明題目，不等式證明最基本的方法是單調(diào)性，這個(gè)題目我們可以先把不等式從右往左移，構(gòu)建F(x)，我相信你們都會(huì)，但是我希望你這樣想，如果這樣想能夠簡(jiǎn)化你的運(yùn)算，這個(gè)函數(shù)如果移項(xiàng)以后，是明顯的偶函數(shù)，移項(xiàng)以后，只需要證明左端比0大，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，在-1到1之間證明比0大，我們只需要證明0到1之間就可以了。這個(gè)題也屬于基本題目，但是這個(gè)題目我在做的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)運(yùn)算中間對(duì)同學(xué)的計(jì)算能力是有一定的要求，而且這中間有一個(gè)基本的小公式同學(xué)都應(yīng)該關(guān)注，X如果落在0—π/2之間，X>sinx，難題如果基礎(chǔ)過(guò)關(guān)，根本是不難的。

　　第17大題，這也是我們講的數(shù)(一)、數(shù)(三)，數(shù)(一)是必考的，我們強(qiáng)化班、沖刺班、點(diǎn)睛班都反復(fù)提到過(guò)，和常規(guī)題目如果有一點(diǎn)不同的話(huà)，x的2n次方系數(shù)并非是一個(gè)真分式，我們要變成一個(gè)真分式加上一個(gè)多項(xiàng)式，然后再求和就成為一個(gè)常規(guī)題了，這是一個(gè)非常好的結(jié)果。當(dāng)然，我相信以后我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有不少同學(xué)在區(qū)間的端點(diǎn)上的斂散性可能有人會(huì)忽略，只要你注意了，應(yīng)該就沒(méi)問(wèn)題。

　　再看一下20大題，這和2008年考題是完全類(lèi)似的，如果有不一樣，只是原來(lái)的考題A是一個(gè)N階方陣，計(jì)算行列完全一樣，這種行列式屬于數(shù)值型的計(jì)算，常規(guī)方法直接按照某一行或者某一列展開(kāi)，為什么這樣做?因?yàn)?的元素非常多。計(jì)算行列式按照某一行或者某一列展開(kāi)很容易計(jì)算。第二小問(wèn)，第一問(wèn)和第二問(wèn)之間是一個(gè)鋪墊關(guān)系，根據(jù)行列式要想保證有無(wú)窮多解，行列式必須為0，根據(jù)行列式為0，能求出a的取值。有兩個(gè)，其中有一個(gè)我們要淘汰一下，如果有，A的秩要等于A的增廣矩陣的秩，往下再求解就完全是按步就班了。

　　第21大題，這也是一個(gè)非常好的小題目，這個(gè)題目條件是已知二次型的秩，二次型的秩就是二次型矩陣的秩，你把A的轉(zhuǎn)置乘以A，它的秩就是A的秩為2。無(wú)論是強(qiáng)化班還是沖刺班，包括點(diǎn)題班都講了，要想求a，畫(huà)出一個(gè)行階梯型求a完全是按步就班，求完a，大A是完全已知的，再往下完全是我們講過(guò)的常規(guī)題目。

　　22大題也是我們?cè)诜磸?fù)強(qiáng)調(diào)的，二維離散型雖然不是考試的難點(diǎn)，但是從來(lái)都是考試的重點(diǎn)，x=2y的概率，表格里一共有9個(gè)小概率，只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)x=2y，一個(gè)四分之一，一個(gè)零�？隙ㄋ姆种�一。計(jì)算x-y和y的協(xié)方差，協(xié)方差有所謂的分解率，我們可以分解成x，y的協(xié)方差再減去y的方差。根據(jù)這個(gè)表格，五大期望我們也很熟，一個(gè)是EX，一個(gè)是EY，一個(gè)是EX的平方，一個(gè)是EY的平方，還有一個(gè)是EXY。有了這5個(gè)期望，注意一個(gè)細(xì)節(jié)，22題本身不難，但是計(jì)算要小心，有一個(gè)地方出錯(cuò)可能就會(huì)前功盡棄。

　　23大題我們的強(qiáng)化班、沖刺班、點(diǎn)題班反復(fù)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的，數(shù)(一)同學(xué)，是考試的重點(diǎn)和難點(diǎn)，應(yīng)該屬于基本的。我點(diǎn)評(píng)一下，要想求密度完全是基本公式，Z是X，Y的線性組合，X，Y都是正態(tài)獨(dú)立的，要想求概率密度，一個(gè)是Z的期望，一個(gè)是Z的方差，完全是最基本的，Z的期望很容易發(fā)現(xiàn)，Z的方差很容易發(fā)現(xiàn)，是3倍的西格瑪?shù)钠椒�。要想求密度，我們只需要代入正態(tài)分布的概率公式完全可以。第二小問(wèn)，我們反復(fù)強(qiáng)調(diào)，只要先求似然函數(shù)。第二小問(wèn)是點(diǎn)評(píng)班題目一個(gè)原題的選項(xiàng)。只要計(jì)算過(guò)關(guān)，第二小問(wèn)沒(méi)有絲毫難度。第三小問(wèn)，只需要求期望就可以了。

　　我把數(shù)(一)的題目像流水帳一樣過(guò)了一下�？偨Y(jié)一下，整個(gè)題目難度是非常適中的，我相信區(qū)分度很高，有些題目你看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但是真正計(jì)算出最終結(jié)果，我相信應(yīng)該能出現(xiàn)不少錯(cuò)誤，區(qū)分度應(yīng)該是很高的。我估計(jì)按照今年的題目難度，我對(duì)照最近幾年，我發(fā)現(xiàn)2012年分?jǐn)?shù)線和2011年應(yīng)該是大體相當(dāng)，有可能稍微低一點(diǎn)，這是我對(duì)數(shù)(一)的感覺(jué)。

　　主持人：非常感謝張老師，謝謝大家。

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