關(guān)于離散數(shù)學(xué)的備考

　　離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，是計算機科學(xué)中基礎(chǔ)理論的核心課程。有不少院校將它列為計算機專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試的備選科目。本文旨在將我們的一些復(fù)習(xí)經(jīng)驗總結(jié)出來，提供給選考離散數(shù)學(xué)的朋友們參考。本文的撰寫主要針對跨專業(yè)和本科階段離散數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好的朋友，希望能有一定的幫助作用。

　　第一個問題是：怎樣的考生適合選考離散數(shù)學(xué)？

　　離散數(shù)學(xué)的特點是知識點集中，抽象思維能力的要求較高。不管是哪本離散數(shù)學(xué)教材，都會在每一章節(jié)列出若干定義和定理，接著就是這些定義定理的直接應(yīng)用。沒有較好的抽象思維能力的人，很難往深處學(xué)下去。同時，離散數(shù)學(xué)的題目較為“呆板”，出新題比較困難，不管什么考試，許多題目是陳題，或者稍作變化的來的。在我們收集到的各個院校的離散數(shù)學(xué)試題中，顯得比較“異類”的僅有北大、復(fù)旦和中科院自動化所的。其中北大是難度大，復(fù)旦與自動化所是側(cè)重點與眾不同。其余院校則大同小異。因此，思維嚴謹、規(guī)范、邏輯性強（而不必要太活躍）的朋友可以考慮選考離散數(shù)學(xué)，而從應(yīng)試的角度來說，記憶力好的朋友也可通過強記各種題型（甚至是大量典型題目的解法）來取得一個不錯的分數(shù)。

　　第二個問題是：選用什么書進行復(fù)習(xí)？

　　首先各位考友應(yīng)該與欲報考院校的研招辦聯(lián)系，弄清專業(yè)課指定教材，根據(jù)所獲得的信息來買書。許多院校選用左孝凌老師的《離散數(shù)學(xué)》作為參考教材。報考這些院校的朋友應(yīng)設(shè)法找到此書的配套輔導(dǎo)書《離散數(shù)學(xué)理論、分析、題解》。這本輔導(dǎo)書總體質(zhì)量很好，即使作為一般學(xué)習(xí)用的習(xí)題集也是不錯的。此外我們再把其它書籍的情況介紹一下。

　　1、北大三本離散教材。這是我們目前所知難度最大，覆蓋面最廣的離散數(shù)學(xué)教材�？急贝蟮呐笥驯貍�。其余的可以買來作為備用。平時不用專門看，一旦在其它書上遇到陌生的知識點，這些書就派上用場了。

　　2、耿素云老師等編寫的《離散數(shù)學(xué)習(xí)題集》。與左老師的書大多數(shù)題都是相同的，只是由于某些符號和定義的不同，使得題目的設(shè)定和解法有些不同而已。

　　3、《全真題解（離散數(shù)學(xué)分冊）》。我們自己編寫的習(xí)題集，收集了大量近年來各院校的研究生入學(xué)考試試題，總結(jié)了多種題型并提出有針對性的解法，還有深入細致的分析與擴展。對于備考來說是很好的選擇。

　　4、“全美經(jīng)典學(xué)習(xí)指導(dǎo)系列”中的《離散數(shù)學(xué)》、《2000離散數(shù)學(xué)習(xí)題精解》。這是今年（2002）剛剛出來的新書，國外的書（已翻譯），科學(xué)出版社出版。是好書，不過不是很符合中國人的離散教學(xué)體系。作為提高用書還是不錯的。

　　5、《DISCRETE MATHEMATICAL STRUCTURES》，高等教育出版社出版的英文影印版教材，深入淺出，絕對好書，然而用于備考則顯得針對性不強。使用它的好處是一舉兩得，同時可以鍛煉英文能力。但需要在數(shù)學(xué)以及其它課程上花費較多時間的朋友慎用。
 
    另外再說一點，有些還在讀大一大二的非計算機專業(yè)的朋友，想跨專業(yè)考計算機研究生并且打算學(xué)離散數(shù)學(xué)。這些朋友，如果暫時還沒有選定要報考的院校，那么左孝凌老師的書是一本相當好的入門教材，可以先買來打打基礎(chǔ)。

　　接著就該開始復(fù)習(xí)了，整個過程可大致分為三個階段。

　　第一階段，大量進行知識儲備的階段。

    離散數(shù)學(xué)是建立在大量定義上面的邏輯推理學(xué)科。因而對概念的理解是我們學(xué)習(xí)這門學(xué)科的核心。由于這些定義非常抽象，初學(xué)者往往不能在腦海中建立起它們與現(xiàn)實世界中客觀事物的聯(lián)系。對于跨專業(yè)自學(xué)的朋友來說更是如此。這是離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的第一個困難。因此，對于第一遍復(fù)習(xí)，我們提出一個最為重要的要求，即準確、全面、完整地記憶所有的定義和定理。具體做法可以是：在進行完一章的學(xué)習(xí)后，用專門的時間對該章包括的定義與定理實施強記，直到能夠全部正確地默寫出來為止。無須強求一定要理解，記住并能準確復(fù)述各定義定理是此階段的最高要求。也不需做太多的題（甚至不做課后習(xí)題也是可以的，把例題看懂就行），重心要放在對定義和定理的記憶上。請牢記，這是為未來的向廣度和深度擴張作必要的準備。

　　這一過程視各人情況不同耗時約在一到兩個月內(nèi)。

　　第二階段，深入學(xué)習(xí)，并大量做課后習(xí)題的階段。

　　這是最漫長的一個階段，耗時也很難估計，一般來說，若能熟練解出某一章75%以上的課后習(xí)題，可以考慮結(jié)束該章。
 
    解離散數(shù)學(xué)的題，方法非常重要，如果拿到一道題，立即能夠看出它所屬的類型及關(guān)聯(lián)的知識點，就不難選用正確的方法將其解決，反之則事倍功半。例如在命題邏輯部分，無非是這么幾種題目：將自然語言表述的命題符號化，等價命題的相互轉(zhuǎn)化（包括化為主合取范式與主析取范式），以給出的若干命題為前提進行推理和證明。相應(yīng)的對策也馬上就可以提出來。以推理題為例，主要是利用P、T規(guī)則，加上蘊涵和等價公式表，由給定的前提出發(fā)進行推演，或根據(jù)題目特點采用真值表法、CP規(guī)則和反證法。由此可見，在平常復(fù)習(xí)中，要善于總結(jié)和歸納，仔細體會題目類型和此類題目的解題套路。如此多作練習(xí)，則即使遇到比較陌生的題也可以較快地領(lǐng)悟其本質(zhì)，從而輕松解出。

    “熟讀唐詩三百首，不會做詩也會吟。”要是拿到一本習(xí)題集，從頭到尾做過，甚至背會的話。那么，在考場上就會發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)題見過或似曾相識。這時，要取得較好的成績也就不是太難的事情了。這一情況具有普遍性，對許多院校的考試都適用。

　　第三階段，進行真題模擬訓(xùn)練，提高整體水平和綜合能力的階段。

　　這一階段從第二階段結(jié)束一直持續(xù)到考試。

    除了上面介紹的教材之外，應(yīng)盡可能地弄到報考院校的專業(yè)課歷年試題。因為每個單位對該科目的側(cè)重點畢竟有不同，從歷年試題中可以獲取許多有用的信息。這些歷年試題此時就有了巨大的作用。

　　一般來說，數(shù)理邏輯會是整個試卷中較為簡單的一個部分。但這并不意味著你就能輕易將所有或大部分分數(shù)收入囊中。它的陷阱主要在哪里呢？不是在試題本身，而是在復(fù)習(xí)中錯誤的指導(dǎo)思想上。這一部分的題目往往因其簡單，“一看就懂”，而被輕視了。從而導(dǎo)致練習(xí)不足，做起題來似乎大錯不會犯，但小毛病總是不斷，難以做到百分之百正確。實際上，必須建立這樣的認識，即：數(shù)理邏輯部分的試題一定要取得85%以上的分數(shù)。否則整個離散數(shù)學(xué)科目的分數(shù)將偏低，會置你于極為不利的境地。要時刻記住，這不是為期末考試做準備，60分就萬事大吉了。這是在準備考研！每一分都是生死攸關(guān)的！因此要在做題時追求高　　準確度、高效率。

　　集合論部分的難度也不大，等價關(guān)系（往往與等價類劃分結(jié)合起來考）是該部分內(nèi)容的重中之重，應(yīng)予以特別關(guān)注。

    代數(shù)結(jié)構(gòu)部分通常會有較難的題目出現(xiàn)，以區(qū)分中上水平的考生與高水平考生。但是，大家也不必發(fā)怵。應(yīng)該看到，這些難題的難度并不是由于解題思路過于靈活，解題技巧過于復(fù)雜而造成的。恰恰相反，這些題目的解法常常是很規(guī)范的，總是依據(jù)一定的“套路”來解。只不過所涉及的知識點既多又陌生，才會覺得困難重重。對付這種題，只需做到兩點：1、熟悉與題目相關(guān)的知識；2、掌握解題“套路”。

　　圖論是離散數(shù)學(xué)考試的重點和難點。相比于離散數(shù)學(xué)的其它部分，圖論的題目稍顯靈活，且要求較高的空間思維和想象能力。但其解法依然有章可循。常用的方法有：反證法、數(shù)學(xué)歸納法、最長（最短）路徑法等。除了注意這些常規(guī)的東西之外，還要留心自己報考的院校的出題習(xí)慣，以確定重點來強化訓(xùn)練。這是直接關(guān)系到復(fù)習(xí)質(zhì)量的大事，不可輕視。

    考前一到兩周時，還應(yīng)再鞏固一下對各知識點的記憶。對遺忘了的內(nèi)容，要再次強記，確�？荚嚂r不致因此而丟失易得的分數(shù)。各種解題方法也要再熟悉一遍，可結(jié)合一兩道典型例題來進行。

　　離散數(shù)學(xué)的題目數(shù)量自然是無窮無盡的，但題目的種類卻很有限。參加離散數(shù)學(xué)考試，好比參加一場比武。對手只有那么幾十個招式。你只要在平時將這些招式一一拆解，比武時無疑穩(wěn)操勝券。更何況，拆解招式的方法前人早已給出，你要做的僅僅是用心體會而已。理解了這一點，也就理解了整個離散數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)與備考。