2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競賽講座(7)

競賽講座07

　　--面積問題和面積方法

　　基礎(chǔ)知識

　　1.面積公式

　　由于平面上的凸多邊形都可以分割成若干三角形，故在面積公式中最基本的是三角形的面積公式.它形式多樣，應(yīng)在不同場合下選擇最佳形式使用.

　　設(shè)△ ， 分別為角 的對邊， 為 的高， 、 分別為△ 外接圓、內(nèi)切圓的半徑， .則△ 的面積有如下公式：

　　(1) ;

　　(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 2.面積定理

　　(1)一個圖形的面積等于它的各部分面積這和;

　　(2)兩個全等形的面積相等;

　　(3)等底等高的三角形、平行四邊形、梯形(梯形等底應(yīng)理解為兩底和相等)的面積相等;

　　(4)等底(或等高)的三角形、平行四邊形、梯形的面積的比等于其所對應(yīng)的高(或底)的比;

　　(5)兩個相似三角形的面積的比等于相似比的平方;

　　(6)共邊比例定理：若△ 和△ 的公共邊 所在直線與直線 交于 ，則 ;

　　(7)共角比例定理：在△ 和△ 中，若 或 ，則 .

　　3.張角定理：如圖，由 點出發(fā)的三條射線 ，設(shè) ， ， ，則 三點共線的充要條件是：

　　.

　　例題分析

　　例1.梯形 的對角線 相交于 ，且 ， ，求 例2.在凸五邊形 中，設(shè) ，求此五邊形的面積.

　　例3. 是△ 內(nèi)一點，連結(jié) 并延長與 分別交于 ，△ 、△ 、△ 的面積分別為40，30，35，求△ 的面積.

　　例4. 分別是△ 的邊 和 上的點，且 ，求△ 的面積的最大值.

　　例5.過△ 內(nèi)一點引三邊的平行線 ∥ ， ∥ ， ∥ ，點 都在△ 的邊上， 表示六邊形 的面積， 表示

　　△ 的面積.求證： .

　　例6.在直角△ 中， 是斜邊 上的高，過△ 的內(nèi)心與△ 的內(nèi)心的直線分別交邊 和 于 和 ，△ 和△ 的面積分別記為 和 .求證： .

　　例7.銳角三角形 中，角 等分線與三角形的外接圓交于一點 ，點 、 與此類似，直線 與 、 兩角的外角平分線將于一點 ，點 、 與此類似.求證：

　　(1)三角形 的面積是六邊形 的面積的二倍;

　　(2)三角形 的面積至少是三角形 的四倍.

　　例8.在△ 中， 將其周長三等分，且 在邊 上，求證： .

　　例9.在銳角△ 的邊 邊上有兩點 、 ，滿足 ，作 ， ( 是垂足)，延長 交△ 的外接圓于點 ，證明四邊形 與△ 的面積相等.

　　三.面積的等積變換

　　等積變換是處理有關(guān)面積問題的重要方法之一，它的特點是利用間面積相等而進行相互轉(zhuǎn)換證(解)題.

　　例10.凸六邊形 內(nèi)接于⊙ ，且 ， ，求此六邊形的面積.

　　例11.已知 的三邊 ，現(xiàn)在 上取 ，在 延長線上截取 ，在 上截取 ，求證： .

　　例12. 在 內(nèi)，且 ∽ ，求征： 例13.在 的三邊 上分別取點 ，使 ， ，連 相交得三角形 ，已知三角形 的面積為13，求三角形 的面積.

　　例14. 為圓內(nèi)接四邊形 的 邊的中點， 于 ， 于 ， 于 ，求證： 平分 .

　　例15.已知邊長為 的 ，過其內(nèi)心 任作一直線分別交 于 點，求證： .

　　例16.正△ 正△ ， ， ， ， ，

　　， .求證： .

　　例17.在正 內(nèi)任取一點 ，設(shè) 點關(guān)于三邊 的對稱點分別為 ，則 相交于一點 .

　　例18.已知 是正六邊形 的兩條對角線，點 分別內(nèi)分 ，且使 ，如果 三點共線，試求 的值.

　　例19.設(shè)在凸四邊形 中，直線 以 為直徑的圓相切，求證：當且僅當 ∥ 時，直線 與以 為直徑的圓相切.

　　訓(xùn)練題

　　1.設(shè) 的面積為10 ， 分別是 邊上的點，且 若 ，求 的面積.

　　2.過 內(nèi)一點作三條平行于三邊的直線，這三條直線將 分成六部份，其中，三部份為三角形，其面積為 ，求三角形 的面積.

　　3.在 的三邊 上分別取不與端點重合的三點 ，求證： ， 中至少有一個的面積不大于 的面積的 .

　　4.銳角 的頂角 的平分線交 邊于 ，又交三角形的外接圓于 ，過 作 和 邊的垂線 和 ,垂足是 ，求證：四邊形 的面積等于 的 面積.

　　5.在等腰直角三角形 的斜邊 上取一點 ，使 ，作 交 于 ，求證： .

　　6.三條直線 互相平行， 在 的兩側(cè)，且 間的距離為 ， 間的距離為1，若正 的三個頂點分別在 上，求正 的邊長.

　　7.已知 及其內(nèi)任一點 ，直線 分別交對邊于 ( )，證明：在 這三個值中，至少有一個不大于2，并且至少有一個不小于2.

　　8.點 和 分別在 的邊 和 上，點 和 將線段 分為三等分，直線 和 分別與邊 相交于點 和 ，證明： .

　　9.已知P是 內(nèi)一點，延長 分別交對邊于 ，其中 ， ，且 ，求 之值.

　　10.過點P作四條射線與直線 分別交于 和 ，求證：

　　.

　　11.四邊形 的兩對對邊的延長線分別交 ，過 作直線與對角線 的延長線分別 ，求證： .

　　12. 為 的重心，過 作直線交 于 ，求證： .

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