2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競賽講座(13)

　　二、三角恒等變換

　　眾多的三角公式，構(gòu)成了豐富多彩的三角學(xué)。要靈活地進(jìn)行三角恒等變換，除熟練地掌握三角公式以及一般的代數(shù)變形技巧外，更重要的是抓住三角式的結(jié)構(gòu)特征，從角和函數(shù)名入手，深入分析，靈活解題。

　　【例1】(1)已知cosβ= - ，sin(α+β)= ，且0<α< <β<π，求sinα的值。

　　(2)已知sin( -α)= ，求 的值。

　　提示：(1)sinα= 。

　　(2)sin2α=1-2 sin2( -α)= ; = 。

　　【說明】三角變換重在角的變換。

　　【例2】求cos cos cos …cos 的值。

　　解法1：利用公式cosθcos2θcos4θ···cos2nθ= ，得

　　cos cos cos cos = - ，∴cos cos cos cos = 。

　　又cos cos = ，cos = ，

　　∴cos cos cos …cos = × × = 。

　　解法2：cos cos cos …cos = · · · ··· · = = 。

　　解法3：利用公式cosαcos( +α)cos( -α)= cos3α，取α= 、 。

　　【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值。

　　解：由倍角公式得

　　cos4θ=( )2= (1+2cos2θ+cos22θ)= + cos2θ+ cos4θ，

　　∴cos420°+cos440°+cos480°= ×3+ (cos40°+ cos80°+ cos160°)

　　+ (cos80°+ cos160°+ cos320°)= + (cos40°+ cos80°+ cos160°)

　　= + (2cos60° cos20°- cos20°)= 。

　　【例4】若sinα+cosβ= ，cosα+sinβ= ，求sinαcosβ的值。

　　解：令θ= -β，則 (1)÷(2)得tg = ， cos(α+θ)= ，

　　∴sinαcosβ=sinαsinθ= - [ cos(α+θ)+ cos(α-θ)] = - 。

　　【例5】已知f(x)= sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函數(shù)，0<θ<π，求θ。

　　解法一：由偶函數(shù)的定義，可得( cosθ+sinθ)sinx=0對(duì)任意x∈R成立。

　　∴ cosθ+sinθ=0，2 sin(θ+ )=0，

　　∴θ+=kπ，而0<θ<π，∴θ= 。

　　解法二：由f(- )=f( )，得θ= ，然后驗(yàn)證f(x)是偶函數(shù)。

　　【例7】方程sinx+ cosx+a=0在(0，2π)內(nèi)有相異兩根α、β，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，以及α+β的值。

　　解：∵sinx+ cosx+a=0，∴sin (x+ )= - 。

　　令t= x+ ，則t∈( ， )，sint= - 。

　　作出函數(shù)y= sint，t∈( , )的圖象：

　　由圖象可以看出：當(dāng)-1< - <1且- ≠ 即-2

　　當(dāng)-2

　　當(dāng)-

　　【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。

　　解：由已知得， (1)2+(2)2得cos(x-y)= - ，

　　同理，cos(y-z)= - ，cos(z-x)= - 。

　　∴x，y，z中任意兩角的終邊夾角為 ，不妨設(shè)

　　x=y+ +2mπ,m∈Z，y=z+ +2nπ,n∈Z，

　　∴x= z+ +2(m+n)π，

　　x+y+z= 3z+2(m+2n+1)π，

　　∴s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz

　　= tg3z+tg(z+ )tg(z+ )tgz

　　= tg3z+tg(z+ )tg(z- )tgz

　　= tg3z+ tgz tg( +z)tg( -z)

　　=0。

　　【說明】如能熟練運(yùn)用下列公式，可對(duì)解題帶來很大方便：

　　sinαsin( +α)sin( -α)= sin3α，

　　cosαcos( +α)cos( -α)= cos3α，

　　tgαtg( +α)tg( -α)=tg3α。

　　如sin10°sin50°sin70°= sin(3×10°)= 。

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