2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競賽講座(19)

競賽講座19

　　-排列、組合、二項式定理

　　基礎(chǔ)知識

　　1.排列組合題的求解策略

　　(1)排除：對有限條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況排除，這是解決排列組合題的常用策略.

　　(2)分類與分步

　　有些問題的處理可分成若干類，用加法原理，要注意每兩類的交集為空集，所有各類的并集是全集;有些問題的處理分成幾個步驟，把各個步驟的方法數(shù)相乘，即得總的方法數(shù)，這是乘法原理.

　　(3)對稱思想：兩類情形出現(xiàn)的機會均等，可用總數(shù)取半得每種情形的方法數(shù).

　　(4)插空：某些元素不能相鄰或某些元素在特殊位置時可采用插空法.即先安排好沒有限制條件的元素，然后將有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間.

　　(5)捆綁：把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，然后與其它“普通元素”全排列，然后再“松綁”，將這些特殊元素在這些位置上全排列.

　　(6)隔板模型：對于將不可辨的球裝入可辨的盒子中，求裝的方法數(shù)，常用隔板模型.如將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個縫隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，分別裝入4個不同的盒子中的方法數(shù)應(yīng)為 ，這也就是方程 的正整數(shù)解的個數(shù).

　　2.圓排列

　　(1)由 的 個元素中，每次取出 個元素排在一個圓環(huán)上，叫做一個圓排列(或叫環(huán)狀排列).

　　(2)圓排列有三個特點：(i)無頭無尾;(ii)按照同一方向轉(zhuǎn)換后仍是同一排列;(iii)兩個圓排列只有在元素不同或者元素雖然相同，但元素之間的順序不同，才是不同的圓排列.

　　(3)定理：在 的 個元素中，每次取出 個不同的元素進行圓排列，圓排列數(shù)為 .

　　3.可重排列

　　允許元素重復(fù)出現(xiàn)的排列，叫做有重復(fù)的排列.

　　在 個不同的元素中，每次取出 個元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序那么第一、第二、…、第 位是的選取元素的方法都是 種，所以從 個不同的元素中，每次取出 個元素的可重復(fù)的排列數(shù)為 .

　　4.不盡相異元素的全排列

　　如果 個元素中，有 個元素相同，又有 個元素相同，…，又有 個元素相同( )，這 個元素全部取的排列叫做不盡相異的 個元素的全排列，它的排列數(shù)是 5.可重組合

　　(1)從 個元素，每次取出 個元素，允許所取的元素重復(fù)出現(xiàn) 次的組合叫從 個元素取出 個有重復(fù)的組合.

　　(2)定理：從 個元素每次取出 個元素有重復(fù)的組合數(shù)為： .

　　6.二項式定理

　　(1)二項式定理 ( ).

　　(2)二項開展式共有 項.

　　(3) ( )叫做二項開展式的通項，這是開展式的第 項.

　　(4)二項開展式中首末兩端等距離的兩項的二項式系數(shù)相等.

　　(5)如果二項式的冪指數(shù) 是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù) 最大;如果 是奇數(shù)，則中間兩項的二項式系數(shù) 與 最大.

　　(6)二項式開展式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項系數(shù)之和，即

　　7.數(shù)學(xué)競賽中涉及二項式定理的題型及解決問題的方法

　　二項式定理，由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，多年來在高考中未能充分展示應(yīng)有的知識地位，而數(shù)學(xué)競賽的命題者卻對其情有獨鐘.

　　(1)利用二項式定理判斷整除問題：往往需要構(gòu)造對偶式;

　　(2)處理整除性問題：構(gòu)造對偶式或利用與遞推式的結(jié)合;

　　(3)求證不等式：通過二項式展開，取展開式中的若干項進行放縮;

　　(4)綜合其他知識解決某些綜合問題：有些較復(fù)雜的問題看似與二項式定理無關(guān)，其實通過觀察、分析題目的特征，聯(lián)想構(gòu)造合適的二項式模型，便可使問題迅速解決.

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