2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(31)

　　-類(lèi)比與聯(lián)想

　　1. 類(lèi)比

　　已知甲問(wèn)題與乙問(wèn)題有某些類(lèi)似之處，猜想乙問(wèn)題的某個(gè)結(jié)論或某種解法也適合甲問(wèn)題，從而將這個(gè)結(jié)論移植給甲問(wèn)題或用類(lèi)似方法解決甲問(wèn)題，這種解決問(wèn)題的思維形式叫做類(lèi)比推理.類(lèi)比只是一種猜測(cè)，是否可行還要靠邏輯推理來(lái)解決.

　　例1 如圖27-1，一直線l交四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA或其延長(zhǎng)線于E、F、G、H，則有

　　分析 此例中條件和結(jié)論都類(lèi)似于梅氏定理，由此考慮將梅氏定理的證明方法施于此例.連BD交l于點(diǎn)O，在△ABD和△BCD中，分別使用梅氏定理可得

　　兩式相乘即得所證結(jié)論.

　　例2 (第3屆國(guó)際中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)如圖27-2，P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn).直線AP、BP、CP交BC，CA，AB于Q、R、S.求證 、 、 三者之中，至少有一個(gè)不大于2，也至少有一個(gè)不小于2.

　　分析 例2條件與下述熟悉的命題條件一樣：

　　“P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn).直線AP、BP、CP交BC、CA、AB于Q、R、S.求證： ”

　　這說(shuō)明可將這個(gè)命題的結(jié)論用于例2，由 知 中至少有一個(gè)不大于 ，不妨設(shè) ≤ 即3PQ≤AQ.

　　而AQ=AP+AQ，

　　∴AP≥2PQ，

　　∴ ≥2，即 不小于2.

　　同理可證三式中至少有一個(gè)不大于2.

　　2. 聯(lián)想

　　由前面的例題的解決，我們看到類(lèi)比是與聯(lián)想交織在一起的.事實(shí)上不論用什么方法解決問(wèn)題都少不了運(yùn)用“聯(lián)想”.根據(jù)問(wèn)題之間的相似性、接近性、對(duì)比性進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想，從而將某個(gè)已知的結(jié)論和方法的全部或部分移植給所研究的新問(wèn)題是解決問(wèn)題的一種基本思想方法.

　　例3 已知0

　　+ ≥ 分析 觀察待證式左端，它的每個(gè)根式都使我們想到Rt△ABC中的等式a2+b2=c2，激起我們構(gòu)造平面圖形利用幾何方法證明這個(gè)不等式的大膽想法.

　　如圖27-3，作邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，分別在AB、AD上取AE=a，AG=b，過(guò)E、G分別作AD、AB的平行線，交CD、BC于F、H，EF、GH交于O點(diǎn).由題設(shè)條件及作圖可知，△AOG、△BOE、△COF、△DOG皆為直角三角形.

　　∴ OC= 再連結(jié)對(duì)角形AC，BD，易知AC=BD= ，OA+OC≥AC，OB+OD≥BD，

　　∴ ≥ 合理的聯(lián)想是以正確的觀察為基礎(chǔ)的.觀察所研究的問(wèn)題的特征和規(guī)律，聯(lián)想似曾相識(shí)的問(wèn)題，便可以迅速地找到一個(gè)解決新問(wèn)題的模式.

　　例4 (柯西不等式)( )·( )≥(a1b1+a2+b2+…+anbn)2(其中等號(hào)當(dāng) 時(shí)成立).

　　分析 設(shè)a= ，c= ，b=2(a1b1+a2+b2+…+anbn)，求證不等式變?yōu)閎2-4ac≤0，這不就是一元二次方程的判別式嗎?于是構(gòu)造下面無(wú)相異實(shí)根的實(shí)系數(shù)一元二次方程解此題便是十分自然的事了.

　　設(shè)f(x)=( )x2-2(a1b1+…+anbn)·x+( )，

　　變形為f(x)=(a1x-b1)2+…+(anx+bn)2≥0.

　　這說(shuō)明方程f(x)=0僅當(dāng) 時(shí)有相等實(shí)根，否則無(wú)實(shí)根，故f(x)=0的判別式不大于0，即

　　( )( )≥(a1b1+…+anbn)2.

　　對(duì)于一般性的命題聯(lián)想它的特殊情況，從研究特殊情形入手�？梢哉业浇鉀Q一般問(wèn)題的方法.

　　例5 (第18屆全蘇中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)數(shù)學(xué)x(≠0)和y使得對(duì)任意的n≥1，數(shù) 都是某整數(shù)的平方數(shù)，求這樣的x和y.

　　解 從最簡(jiǎn)單的情形入手.如果 ，那么A是大于40的兩位數(shù)，并且它的末位數(shù)字是2或8，可以驗(yàn)證僅當(dāng)A=68或98時(shí)，A2的百位數(shù)6，即682=4624;982=9604.現(xiàn)在來(lái)看一般情況，

　　=4· +2(10n+…+10+1)+2

　　=4·10n+1· = =[(2·10n+1+4)/3]2

　　= =66…682.

　　=(10n-1)10n+2+6·10n+1+4

　　=(10n+1-2)2= .

　　∴x=4，y=2 或x=9，y=0.

　　例6 設(shè)P1，P2，…，Pn依次為△ABC中∠BAC的n等分線與BC的交點(diǎn)，求證 分析 先考慮n=2的情形，即“設(shè)P1為△ABC的∠BAC的平分線與BC的交點(diǎn)，求證 ”.這是三角形內(nèi)角平分線性質(zhì),證法很多.因考慮到要證的一般情形的結(jié)論是線段的乘積的比,故我們利用三角形的面積公式來(lái)證.如圖27-4,在△ABP1和△ACP1中，

　　∵∠BAP1=∠CAP1且BP1與CP1邊上的高相等，

　　∴ 即 再考慮n=3的情形，即“設(shè)P1，P2為△ABC的∠BAC的三等分角線與BC的交點(diǎn)，求證 如圖27-5，仿上可證

　　上兩式后面等式相乘得

　　運(yùn)用上面特殊情況的方法可證得一般情況.

　　數(shù)學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題的解決，大多是從聯(lián)想相應(yīng)的為數(shù)學(xué)模型開(kāi)始的.

　　例7 海灘上的一堆蘋(píng)果是五個(gè)猴子的財(cái)產(chǎn)，它們要平均分配.第一個(gè)猴子來(lái)了,它把蘋(píng)果平均分成五堆還剩下一個(gè).它把剩下的一個(gè)仍到大海里,自己拿走了一堆;第二個(gè)猴子來(lái)了,它又把蘋(píng)果平均分成5堆,又多了一個(gè),它又仍掉一個(gè),拿走了一堆;以后每個(gè)猴子來(lái)了都照此辦理.問(wèn)原來(lái)至少有多少蘋(píng)果?最后至少有多少蘋(píng)果?

　　解 設(shè)后一個(gè)猴子到來(lái)時(shí)蘋(píng)果的數(shù)目為x,而當(dāng)它離去時(shí),剩下的蘋(píng)果數(shù)目為y,由x可確定y:

　　這樣就把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)解析式來(lái)討論.若設(shè)最初有x0個(gè)蘋(píng)果,第i個(gè)猴子離去時(shí),剩下的蘋(píng)果數(shù)為yi,則

　　要使y5取整數(shù)值,x0+4必是55的倍數(shù),故x0的最小正數(shù)解應(yīng)是

　　x0=55-4=3121,

　　∴y5=45-4=1020.

　　故原來(lái)至少有3121個(gè)蘋(píng)果，最后至少有1020個(gè)蘋(píng)果.

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