2011年中招考試:《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(32)
3. 一個(gè)定理的應(yīng)用定理
已知△ABC、△DBC共邊BC,AD交BC或其延長(zhǎng)線于E,則 分析 當(dāng)B或C點(diǎn)與E重合時(shí),結(jié)論顯然成立.當(dāng)B、C都不與E重合時(shí),有兩種情況:若E在BC之間,由△ABE= 易知結(jié)論成立;若E在BC之外類似可證.證明略.
這個(gè)定理敘述的事實(shí)雖然簡(jiǎn)單,但卻能解決大問題.
例8 (1987年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如圖23-8已知四邊形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)E,連接AE、BE、CE、DE,將四邊形ABCD分成四個(gè)面積相等的三角形,那么命題( ).
甲. ABCD是凸四邊形; 此處無圖
乙. E是對(duì)角線AC的中點(diǎn)或?qū)蔷BD的中點(diǎn);
丙. ABCD是平行四邊形中.
(A) 只有甲正確 (B)只有乙正確 (C)甲、乙、丙都正確 (D)甲、乙、丙都不正確
分析 如果ABCD是以AC為對(duì)稱軸的凹四邊形,易見AC的中點(diǎn)具有題中E點(diǎn)所要求的性質(zhì),所以甲、丙都不正確.
設(shè)AE、BE、CE、DE將四邊形ABCD分成四個(gè)面積相等的三角形,BD、AC交于F,由△ABE=△ADE及本講定理知F是BD的中點(diǎn),即E在AF上.
如果F與E重合,則E是BD的中點(diǎn),乙成立.如果F與E不重合,同理由△BEC=△DEC是E在直線CF上,也就是說A、C都在直線EF上.再由△ABE=△BEC,得AE=EC,所以E是AC的中點(diǎn),乙成立.所以選(B).
如果將三點(diǎn)A、B、C在一條直線上看成是△ABC的蛻化情況,那么A、B、C三點(diǎn)共線等價(jià)于△ABC=0.由此引出證明三點(diǎn)共線的一條極自然的思路:欲證三點(diǎn)A、B、C共線,只要證明△ABC=0.為了計(jì)算△ABC的面積,常在A、B、C之外適當(dāng)選一點(diǎn)P,如果△PAB、△PBC、△PAC三者之中一個(gè)等于另兩個(gè)之和,則自然有△ABC=0,這方面?zhèn)鹘y(tǒng)的例子是梅內(nèi)勞斯定理的證明.
例9在圖33-9△ABC的兩邊AB、AC上分別取E、F兩點(diǎn),在BC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D,使 則D、E、F三點(diǎn)共線. 此處無圖
證明 設(shè) 則 于是 ①
②
、
由①、②、③易得△BDE=△BEF+△BDF,
∴D、E、F三點(diǎn)共線.
說明:A、B、C共線即點(diǎn)B在直線AC上.由此即知欲證l1、l2、l3共點(diǎn),只要證l1、l2的交點(diǎn)B在直線l3上,若在l3上別取點(diǎn)A、C,則只要證明△ABC=0即可.看來三線共點(diǎn)的問題可轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線來解決,這方面典型的例子是塞瓦定理的證明(見練習(xí)題).
最后,我們來看一個(gè)漂亮的作圖問題.
例10設(shè)A、B是直線l1上的兩點(diǎn),而C、D是直線l2上的兩點(diǎn),l1與l2交于O,作出平面上一切滿足條件△PAB=△PCD的點(diǎn)P.
分析 如圖23-10,在l1上取E、F,使O為EF中點(diǎn)且EO=AB;在l2上取G、H,使O為GH中點(diǎn)且GO=CD.不妨設(shè)E、G、F、H之順序使EGFH成為以O(shè)為中心的平行四邊形.設(shè)EG、GF、FH、HE之中點(diǎn)順次為M、S、N、R,則P點(diǎn)為直線MN和RS上的一切點(diǎn).
設(shè)P為RS上或MN上任一點(diǎn),由作圖知△PAB=△PFO,△PCD=△PGO.由本講定理知△PFO=△PGO,所以△PAB=△PCD.當(dāng)P點(diǎn)不在直線MN上且不在RS上時(shí),可以用反證法證明△PAB≠△PCD.
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