2011中考名師點(diǎn)睛：怎樣應(yīng)用旋轉(zhuǎn)解題(圖)

圖1

圖2

圖3

圖4

　　天津四中 馬艷芳

　　精講精練

　　隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，其基本理念對(duì)近幾年中考數(shù)學(xué)命題的改革產(chǎn)生了重大影響。新課程標(biāo)準(zhǔn)下的初中數(shù)學(xué)教材，增添了圖形變化的問題，使數(shù)學(xué)更貼近生活，幾何變換這一重要的數(shù)學(xué)思想，在近幾年的中考、競(jìng)賽試題中經(jīng)常出現(xiàn)，這使得數(shù)學(xué)試題的解題方法和技巧更加靈活多變。只改變圖形的位置，而不改變其形狀大小，使幾何圖形重新組合，產(chǎn)生新的圖形關(guān)系，從而找到解決問題的途徑，這是進(jìn)行幾何變換的目的，其中旋轉(zhuǎn)變換是最常見的手段之一。

　　旋轉(zhuǎn)是幾何變換中的基本變換，它一般先對(duì)給定的圖形(或其中一部分圖形)，通過旋轉(zhuǎn)，改變位置后重新組合，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系，進(jìn)而揭示條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，找出證題途徑。

　　旋轉(zhuǎn)變換是一種重要的幾何變換，進(jìn)行幾何變換的目的有兩個(gè)：

　�、俳沂編缀螆D形的性質(zhì)或幾何量之間的內(nèi)在聯(lián)系;

　　②使分散的元素集中，從而使表面互不相干的條件變得密切相關(guān)。

　　什么時(shí)候考慮用旋轉(zhuǎn)變換?怎樣運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換呢?下面結(jié)合例題談?wù)勑�轉(zhuǎn)變換在平面幾何解題中的應(yīng)用：

　　例1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，將正方形OMNP的一頂點(diǎn)O放在正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)處，你能求出兩正方形重疊部分的面積嗎?

　　這道題是初二課本上的一道課后練習(xí)題，當(dāng)時(shí)我們解這道題時(shí)是從全等的角度來考慮的�，F(xiàn)在我們可以嘗試著用新方法——旋轉(zhuǎn)來解這道題。

　　分析：重疊部分被分為兩部分△OCF和△OCE，而△OCF ≌△OBE，△OCE≌△ODF，我們可以將△OCF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與原有的△OBE重合，或?qū)ⅰ鱋CE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與原有的△ODF重合。這樣，通過旋轉(zhuǎn)我們能輕而易舉地知道重疊部分面積為正方形ABCD面積的■，所以重疊部分面積為■a2。

　　解：∵OB=OC

　　∴將△OCF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

　　∴△OCF≌△OBE

　　∴S陰影=S△OBC

　　∴S陰影=■a2

　　這道題也可將△OEC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，進(jìn)行解答。

　　這道題是通過旋轉(zhuǎn)使圖形與原有圖形重合，從而使重疊部分面積得到重新組合，使問題得到解決。這個(gè)以前做過的題目，我們換一個(gè)角度再看這道題目，又別有一番風(fēng)景。在感觀上認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)，了解旋轉(zhuǎn)解題的簡(jiǎn)便之處。從中總結(jié)出用旋轉(zhuǎn)解題的前提條件——相交等線段，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。

　　練習(xí)1.如右圖所示，分別以正方形ABCD的邊AB、AD為直徑畫半圓，若正方形的邊長(zhǎng)為a，求陰影部分的面積。

　　例2.如圖所示，設(shè)P為等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠APB=113°，∠APC=123°

　　問：(1)PA、PB、PC能否構(gòu)成三角形?

　　(2)如果能構(gòu)成三角形，請(qǐng)找出構(gòu)成的三角形各內(nèi)角的度數(shù)。

　　分析：已知三條線段看它能否構(gòu)成三角形，方法大概有兩種。從計(jì)算的角度求三邊長(zhǎng)度，比較三邊大小，利用三角形三邊關(guān)系，判斷能否構(gòu)成三角形。或從圖形的角度，看能否將其放入一個(gè)三角形中。根據(jù)本題的實(shí)際情況求三邊長(zhǎng)度不是很現(xiàn)實(shí)，所以問題的解決就是看能否把三條線段放入一個(gè)三角形中。如何將三條線段放入同一個(gè)三角形中?考慮到AB、BC為兩條相交等線段——利用旋轉(zhuǎn)，很好地解決了這一問題。