遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題（規(guī)模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n-2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。

       在回歸階段，當(dāng)獲得最簡單情況的解后，逐級返回，依次得到稍復(fù)雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。

       在編寫遞歸函數(shù)時要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進(jìn)入“簡單問題”層時，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。

       由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會有一系列的重復(fù)計算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對較低。當(dāng)某個遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數(shù)列的第n項的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項出發(fā)，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項。

【問題】       組合問題

問題描述：找出從自然數(shù)1、2、……、n中任取r個數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：   （1）5、4、3            （2）5、4、2              （3）5、4、1

                     （4）5、3、2              （5）5、3、1              （6）5、2、1

                     （7）4、3、2              （8）4、3、1              （9）4、2、1

                     （10）3、2、1

       分析所列的10個組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為void  comb(int m,int k)為找出從自然數(shù)1、2、……、m中任取k個數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個數(shù)字選定時，其后的數(shù)字是從余下的m-1個數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m個數(shù)中取k個數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求m-1個數(shù)中取k-1個數(shù)的組合問題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a[ ]存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個數(shù)字組合的第一個數(shù)字放在a[k]中，當(dāng)一個組合求出后，才將a[ ]中的一個組合輸出。第一個數(shù)可以是m、m-1、……、k，函數(shù)將確定組合的第一個數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細(xì)節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb。

【程序】

# include <stdio.h>

# define   MAXN    100

int    a[MAXN];

void comb(int m,int k)

{     int i,j;

       for (i=m;i>=k;i--)

       {     a[k]=i;

              if (k>1)

                     comb(i-1,k-1);

              else

              {     for (j=a[0];j>0;j--)

                            printf(“%4d”,a[j]);

                     printf(“\n”);

              }

       }

}

 

void main()

{     a[0]=3;

       comb(5,3);

}

【問題】       背包問題

    問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。

    設(shè)n件物品的重量分別為w₀、w₁、…、w_n-1，物品的價值分別為v₀、v₁、…、v_n-1。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價值最大的方案于數(shù)組option[ ]，該方案的總價值存于變量maxv。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop[ ]。假定當(dāng)前方案已考慮了前i-1件物品，現(xiàn)在要考慮第i件物品；當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達(dá)到的總價值的期望值為tv。算法引入tv是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價值的期望值也小于前面方案的總價值maxv時，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無意義的工作，應(yīng)終止當(dāng)前方案，立即去考察下一個方案。因為當(dāng)方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數(shù)后找到的方案一定會比前面的方案更好。

    對于第i件物品的選擇考慮有兩種可能：

（1）              考慮物品i被選擇，這種可能性僅當(dāng)包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。

（2）              考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當(dāng)不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。

    按以上思想寫出遞歸算法如下：

try(物品i，當(dāng)前選擇已達(dá)到的重量和，本方案可能達(dá)到的總價值tv)

{     /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

       if(包含物品i是可以接受的)

       {     將物品i包含在當(dāng)前方案中；

              if (i<n-1)

                     try(i+1,tw+物品i的重量,tv);

              else

                     /*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/

以當(dāng)前方案作為臨時最佳方案保存;

                     恢復(fù)物品i不包含狀態(tài)；

              }

              /*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

              if (不包含物品i僅是可男考慮的)

                     if (i<n-1)

                            try(i+1,tw,tv-物品i的價值)；

                     else

                            /*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/

以當(dāng)前方案作為臨時最佳方案保存;

       }

       為了理解上述算法，特舉以下實例。設(shè)有4件物品，它們的重量和價值見表：

物品	0	1	2	3
重量	5	3	2	1
價值	4	4	3	1

 

    并設(shè)限制重量為7。則按以上算法，下圖表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，算法就進(jìn)一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解，算法不會在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個分支。

Try(0,0,12)

Try(1,5,12)

Try(1,0,8)

Try(2,5,8)

Try(3,7,8)

Try(2,3,8)

Try(3,5,8)

不能得到更好的解

不能得到更好的解

超重

不能得到更好的解

得到解：(1,0,1,0) maxv=7

得到解：(0,1,1,1) maxv=8

不能得到更好的解

超重

按上述算法編寫函數(shù)和程序如下：

【程序】

# include <stdio.h>

# define   N     100

double     limitW,totV,maxV;

int    option[N],cop[N];

struct      {     double     weight;

                     double     value;

              }a[N];

int    n;

void find(int i,double tw,double tv)

{     int k;

       /*考慮物品i包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

       if (tw+a[i].weight<=limitW)

       {     cop[i]=1;

              if (i<n-1) find(i+1,tw+a[i].weight,tv);

              else

              {     for (k=0;k<n;k++)

                            option[k]=cop[k];

                     maxv=tv;

              }

              cop[i]=0;

}

       /*考慮物品i不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/

       if (tv-a[i].value>maxV)

              if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a[i].value);

              else

              {     for (k=0;k<n;k++)

                            option[k]=cop[k];

                     maxv=tv-a[i].value;

              }

}

 

void main()

{     int k;

       double w,v;

       printf(“輸入物品種數(shù)\n”);

       scanf((“%d”,&n);

       printf(“輸入各物品的重量和價值\n”);

       for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)

       {     scanf(“%1f%1f”,&w,&v);

              a[k].weight=w;

              a[k].value=v;

              totV+=V;

       }

       printf(“輸入限制重量\n”);

       scanf(“%1f”,&limitV);

       maxv=0.0;

       for (k=0;k<n;k++)  cop[k]=0;

       find(0,0.0,totV);

       for (k=0;k<n;k++)

              if (option[k])   printf(“%4d”,k+1);

       printf(“\n總價值為%.2f\n”,maxv);

}

       作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡單地逐一生成所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進(jìn)一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進(jìn)一步考慮下一個物品。

【程序】

# include <stdio.h>

# define   N     100

double     limitW;

int    cop[N];

struct      ele   {     double     weight;

                            double     value;

                     } a[N];

int    k,n;

struct      {     int          flg;

                     double     tw;

                     double     tv;

              }twv[N];

void next(int i,double tw,double tv)

{     twv[i].flg=1;

       twv[i].tw=tw;

       twv[i].tv=tv;

}

double find(struct ele *a,int n)

{     int i,k,f;

       double maxv,tw,tv,totv;

       maxv=0;

       for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)

              totv+=a[k].value;

       next(0,0.0,totv);

       i=0;

       While (i>=0)

       {     f=twv[i].flg;

              tw=twv[i].tw;

              tv=twv[i].tv;

              switch(f)

              {     case 1:    twv[i].flg++;

                                   if (tw+a[i].weight<=limitW)

                                          if (i<n-1)

                                          {     next(i+1,tw+a[i].weight,tv);

                                                 i++;

                                          }

                                          else

                                          {     maxv=tv;

                                                 for (k=0;k<n;k++)

                                                        cop[k]=twv[k].flg!=0;

                                          }

                                   break;

                     case 0:    i--;

                                   break;

                     default:    twv[i].flg=0;

                                   if (tv-a[i].value>maxv)

                                          if (i<n-1)

                                          {     next(i+1,tw,tv-a[i].value);

                                                 i++;

                                          }

                                          else

                                          {     maxv=tv-a[i].value;

                                                 for (k=0;k<n;k++)

                                                        cop[k]=twv[k].flg!=0;

                                          }

                                   break;

              }

       }

       return maxv;

}

 

void main()

{     double maxv;

       printf(“輸入物品種數(shù)\n”);

       scanf((“%d”,&n);

       printf(“輸入限制重量\n”);

       scanf(“%1f”,&limitW);

printf(“輸入各物品的重量和價值\n”);

       for (k=0;k<n;k++)

              scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);

       maxv=find(a,n);

       printf(“\n選中的物品為\n”);

for (k=0;k<n;k++)

              if (option[k])   printf(“%4d”,k+1);

       printf(“\n總價值為%.2f\n”,maxv);

}

五、回溯法

       回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時，就選擇下一個候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時，繼續(xù)擴大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時，該候選解就是問題的一個解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個候選解的過程稱為回溯。擴大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。

  

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