【問(wèn)題】       馬的遍歷

    問(wèn)題描述：在8×8方格的棋盤(pán)上，從任意指定的方格出發(fā)，為馬尋找一條走遍棋盤(pán)每一格并且只經(jīng)過(guò)一次的一條路徑。

       馬在某個(gè)方格，可以在一步內(nèi)到達(dá)的不同位置最多有8個(gè)，如圖所示。如用二維數(shù)組board[ ][ ]表示棋盤(pán)，其元素記錄馬經(jīng)過(guò)該位置時(shí)的步驟號(hào)。另對(duì)馬的8種可能走法（稱(chēng)為著法）設(shè)定一個(gè)順序，如當(dāng)前位置在棋盤(pán)的（i，j）方格，下一個(gè)可能的位置依次為（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、（i+2，j-1），實(shí)際可以走的位置盡限于還未走過(guò)的和不越出邊界的那些位置。為便于程序的同意處理，可以引入兩個(gè)數(shù)組，分別存儲(chǔ)各種可能走法對(duì)當(dāng)前位置的縱橫增量。

       對(duì)于本題，一般可以采用回溯法，這里采用Warnsdoff策略求解，這也是一種貪婪法，其選擇下一出口的貪婪標(biāo)準(zhǔn)是在那些允許走的位置中，選擇出口最少的那個(gè)位置。如馬的當(dāng)前位置（i，j）只有三個(gè)出口，他們是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分別走到這些位置，這三個(gè)位置又分別會(huì)有不同的出口，假定這三個(gè)位置的出口個(gè)數(shù)分別為4、2、3，則程序就選擇讓馬走向（i-2，j+1）位置。

       由于程序采用的是一種貪婪法，整個(gè)找解過(guò)程是一直向前，沒(méi)有回溯，所以能非�？斓卣业浇�。但是，對(duì)于某些開(kāi)始位置，實(shí)際上有解，而該算法不能找到解。對(duì)于找不到解的情況，程序只要改變8種可能出口的選擇順序，就能找到解。改變出口選擇順序，就是改變有相同出口時(shí)的選擇標(biāo)準(zhǔn)。以下程序考慮到這種情況，引入變量start，用于控制8種可能著法的選擇順序。開(kāi)始時(shí)為0，當(dāng)不能找到解時(shí)，就讓start增1，重新找解。細(xì)節(jié)以下程序。

【程序】

# include <stdio.h>

int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2};

int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};

int board[8][8];

int exitn(int i,int j,int s,int a[ ])

{     int i1,j1,k,count;

       for (count=k=0;k<8;k++)

       {     i1=i+delta_i[(s+k)%8];

              j1=i+delta_j[(s+k)%8];

              if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0)

                     a[count++]=(s+k)%8;

       }

       return count;

}

int next(int i,int j,int s)

{     int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp;

       m=exitn(i,j,s,a);

       if (m==0)              return –1;

       for (min=9,k=0;k<m;k++)

       {     temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b);

              if (temp<min)

              {     min=temp;

kk=a[k];

              }

       }

       return  kk;

}

void main()

{     int sx,sy,i,j,step,no,start;

       for (sx=0;sx<8;sx++)

       for (sy=0;sy<8;sy++)

       {     start=0;

              do {

                     for (i=0;i<8;i++)

                            for (j=0;j<8;j++)

                                   board[i][j]=0;

                     board[sx][sy]=1;

                     I=sx;       j=sy;

                     For (step=2;step<64;step++)

                     {     if ((no=next(i,j,start))==-1)   break;

                            I+=delta_i[no];

                            j+=delta_j[no];

                            board[i][j]=step;

                     }

                     if (step>64)    break;

                     start++;

              } while(step<=64)

              for (i=0;i<8;i++)

              {     for (j=0;j<8;j++)

                            printf(“%4d”,board[i][j]);

                     printf(“\n\n”);

              }

              scanf(“%*c”);

       }

}

七、分治法

1、分治法的基本思想

    任何一個(gè)可以用計(jì)算機(jī)求解的問(wèn)題所需的計(jì)算時(shí)間都與其規(guī)模N有關(guān)。問(wèn)題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計(jì)算時(shí)間也越少。例如，對(duì)于n個(gè)元素的排序問(wèn)題，當(dāng)n=1時(shí)，不需任何計(jì)算；n=2時(shí)，只要作一次比較即可排好序；n=3時(shí)只要作3次比較即可，…。而當(dāng)n較大時(shí)，問(wèn)題就不那么容易處理了。要想直接解決一個(gè)規(guī)模較大的問(wèn)題，有時(shí)是相當(dāng)困難的。

    分治法的設(shè)計(jì)思想是，將一個(gè)難以直接解決的大問(wèn)題，分割成一些規(guī)模較小的相同問(wèn)題，以便各個(gè)擊破，分而治之。

    如果原問(wèn)題可分割成k個(gè)子問(wèn)題（1<k≤n），且這些子問(wèn)題都可解，并可利用這些子問(wèn)題的解求出原問(wèn)題的解，那么這種分治法就是可行的。由分治法產(chǎn)生的子問(wèn)題往往是原問(wèn)題的較小模式，這就為使用遞歸技術(shù)提供了方便。在這種情況下，反復(fù)應(yīng)用分治手段，可以使子問(wèn)題與原問(wèn)題類(lèi)型一致而其規(guī)模卻不斷縮小，最終使子問(wèn)題縮小到很容易直接求出其解。這自然導(dǎo)致遞歸過(guò)程的產(chǎn)生。分治與遞歸像一對(duì)孿生兄弟，經(jīng)常同時(shí)應(yīng)用在算法設(shè)計(jì)之中，并由此產(chǎn)生許多高效算法。

2、分治法的適用條件

    分治法所能解決的問(wèn)題一般具有以下幾個(gè)特征：

（1）該問(wèn)題的規(guī)�？s小到一定的程度就可以容易地解決；

（2）該問(wèn)題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問(wèn)題，即該問(wèn)題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)；

（3）利用該問(wèn)題分解出的子問(wèn)題的解可以合并為該問(wèn)題的解；

（4）該問(wèn)題所分解出的各個(gè)子問(wèn)題是相互獨(dú)立的，即子問(wèn)題之間不包含公共的子子問(wèn)題。

    上述的第一條特征是絕大多數(shù)問(wèn)題都可以滿(mǎn)足的，因?yàn)閱?wèn)題的計(jì)算復(fù)雜性一般是隨著問(wèn)題規(guī)模的增加而增加；第二條特征是應(yīng)用分治法的前提，它也是大多數(shù)問(wèn)題可以滿(mǎn)足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用；第三條特征是關(guān)鍵，能否利用分治法完全取決于問(wèn)題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮貪心法或動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問(wèn)題是不獨(dú)立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問(wèn)題，此時(shí)雖然可用分治法，但一般用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法較好。

3、分治法的基本步驟

    分治法在每一層遞歸上都有三個(gè)步驟：

（1）分解：將原問(wèn)題分解為若干個(gè)規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問(wèn)題形式相同的子問(wèn)題；

（2）解決：若子問(wèn)題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問(wèn)題；

（3）合并：將各個(gè)子問(wèn)題的解合并為原問(wèn)題的解。

    它的一般的算法設(shè)計(jì)模式如下：

Divide_and_Conquer（P）

if |P|≤n₀

then return（ADHOC（P））

將P分解為較小的子問(wèn)題P₁、P₂、…、P_k

for i←1 to k

do

y_i ← Divide-and-Conquer（P_i）               △ 遞歸解決Pi

T ← MERGE（y₁，y₂，…，y_k）                          △ 合并子問(wèn)題

Return（T）

    其中 |P| 表示問(wèn)題P的規(guī)模；n₀為一閾值，表示當(dāng)問(wèn)題P的規(guī)模不超過(guò)n₀時(shí)，問(wèn)題已容易直接解出，不必再繼續(xù)分解。ADHOC（P）是該分治法中的基本子算法，用于直接解小規(guī)模的問(wèn)題P。因此，當(dāng)P的規(guī)模不超過(guò)n₀時(shí)，直接用算法ADHOC（P）求解。

    算法MERGE（y₁，y₂，…，y_k）是該分治法中的合并子算法，用于將P的子問(wèn)題P₁、P₂、…、P_k的相應(yīng)的解y₁、y₂、…、y_k合并為P的解。

    根據(jù)分治法的分割原則，原問(wèn)題應(yīng)該分為多少個(gè)子問(wèn)題才較適宜？各個(gè)子問(wèn)題的規(guī)模應(yīng)該怎樣才為適當(dāng)？這些問(wèn)題很難予以肯定的回答。但人們從大量實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在用分治法設(shè)計(jì)算法時(shí)，最好使子問(wèn)題的規(guī)模大致相同。換句話(huà)說(shuō)，將一個(gè)問(wèn)題分成大小相等的k個(gè)子問(wèn)題的處理方法是行之有效的。許多問(wèn)題可以取k=2。這種使子問(wèn)題規(guī)模大致相等的做法是出自一種平衡子問(wèn)題的思想，它幾乎總是比子問(wèn)題規(guī)模不等的做法要好。

    分治法的合并步驟是算法的關(guān)鍵所在。有些問(wèn)題的合并方法比較明顯，有些問(wèn)題合并方法比較復(fù)雜，或者是有多種合并方案；或者是合并方案不明顯。究竟應(yīng)該怎樣合并，沒(méi)有統(tǒng)一的模式，需要具體問(wèn)題具體分析。

【問(wèn)題】       大整數(shù)乘法

問(wèn)題描述：

    通常，在分析一個(gè)算法的計(jì)算復(fù)雜性時(shí)，都將加法和乘法運(yùn)算當(dāng)作是基本運(yùn)算來(lái)處理，即將執(zhí)行一次加法或乘法運(yùn)算所需的計(jì)算時(shí)間當(dāng)作一個(gè)僅取決于計(jì)算機(jī)硬件處理速度的常數(shù)。

    這個(gè)假定僅在計(jì)算機(jī)硬件能對(duì)參加運(yùn)算的整數(shù)直接表示和處理時(shí)才是合理的。然而，在某些情況下，我們要處理很大的整數(shù)，它無(wú)法在計(jì)算機(jī)硬件能直接表示的范圍內(nèi)進(jìn)行處理。若用浮點(diǎn)數(shù)來(lái)表示它，則只能近似地表示它的大小，計(jì)算結(jié)果中的有效數(shù)字也受到限制。若要精確地表示大整數(shù)并在計(jì)算結(jié)果中要求精確地得到所有位數(shù)上的數(shù)字，就必須用軟件的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)大整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算。

    請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)有效的算法，可以進(jìn)行兩個(gè)n位大整數(shù)的乘法運(yùn)算。

     設(shè)X和Y都是n位的二進(jìn)制整數(shù)，現(xiàn)在要計(jì)算它們的乘積XY。我們可以用小學(xué)所學(xué)的方法來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算乘積XY的算法，但是這樣做計(jì)算步驟太多，顯得效率較低。如果將每2個(gè)1位數(shù)的乘法或加法看作一步運(yùn)算，那么這種方法要作O(n²)步運(yùn)算才能求出乘積XY。下面我們用分治法來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)更有效的大整數(shù)乘積算法。

圖6-3 大整數(shù)X和Y的分段

    我們將n位的二進(jìn)制整數(shù)X和Y各分為2段，每段的長(zhǎng)為n/2位（為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)n是2的冪），如圖6-3所示。

由此，X=A2^n/2+B，Y=C2^n/2+D。這樣，X和Y的乘積為：

XY=(A2^n/2+B)(C2^n/2+D)=AC2ⁿ+(AD+CB)2^n/2+BD    （1）

    如果按式（1）計(jì)算XY，則我們必須進(jìn)行4次n/2位整數(shù)的乘法(AC，AD，BC和BD)，以及3次不超過(guò)n位的整數(shù)加法（分別對(duì)應(yīng)于式（1）中的加號(hào)），此外還要做2次移位（分別對(duì)應(yīng)于式（1）中乘2ⁿ和乘2^n/2）。所有這些加法和移位共用O（n）步運(yùn)算。設(shè)T（n）是2個(gè)n位整數(shù)相乘所需的運(yùn)算總數(shù)，則由式（1），我們有：

                  （2）

    由此可得T（n）=O（n²）。因此，用（1）式來(lái)計(jì)算X和Y的乘積并不比小學(xué)生的方法更有效。要想改進(jìn)算法的計(jì)算復(fù)雜性，必須減少乘法次數(shù)。為此我們把XY寫(xiě)成另一種形式：

XY=AC2ⁿ+[(A-B)(D-C)+AC+BD]2^n/2+BD          （3）

    雖然，式（3）看起來(lái)比式（1）復(fù)雜些，但它僅需做3次n/2位整數(shù)的乘法（AC，BD和（A-B）（D-C）），6次加、減法和2次移位。由此可得：

                      （4）

    用解遞歸方程的套用公式法馬上可得其解為T(n)=O(n^log3)=O(n^1.59)。利用式（3），并考慮到X和Y的符號(hào)對(duì)結(jié)果的影響，我們給出大整數(shù)相乘的完整算法MULT如下：

function MULT(X，Y，n); {X和Y為2個(gè)小于2n的整數(shù)，返回結(jié)果為X和Y的乘積XY}

begin

S=SIGN(X)*SIGN(Y); {S為X和Y的符號(hào)乘積}

X=ABS(X);

Y=ABS(Y); {X和Y分別取絕對(duì)值}

if n=1 then

if (X=1)and(Y=1) then return(S)

else return(0)

else begin

A=X的左邊n/2位;

B=X的右邊n/2位;

C=Y的左邊n/2位;

D=Y的右邊n/2位;

ml=MULT(A,C,n/2);

m2=MULT(A-B,D-C,n/2);

m3=MULT(B,D,n/2);

S=S*(m1*2n+(m1+m2+m3)*2n/2+m3);

return(S);

end;

end;

    上述二進(jìn)制大整數(shù)乘法同樣可應(yīng)用于十進(jìn)制大整數(shù)的乘法以提高乘法的效率減少乘法次數(shù)。

【問(wèn)題】       最接近點(diǎn)對(duì)問(wèn)題

問(wèn)題描述：

    在應(yīng)用中，常用諸如點(diǎn)、圓等簡(jiǎn)單的幾何對(duì)象代表現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)體。在涉及這些幾何對(duì)象的問(wèn)題中，常需要了解其鄰域中其他幾何對(duì)象的信息。例如，在空中交通控制問(wèn)題中，若將飛機(jī)作為空間中移動(dòng)的一個(gè)點(diǎn)來(lái)看待，則具有最大碰撞危險(xiǎn)的2架飛機(jī)，就是這個(gè)空間中最接近的一對(duì)點(diǎn)。這類(lèi)問(wèn)題是計(jì)算幾何學(xué)中研究的基本問(wèn)題之一。下面我們著重考慮平面上的最接近點(diǎn)對(duì)問(wèn)題。

     最接近點(diǎn)對(duì)問(wèn)題的提法是：給定平面上n個(gè)點(diǎn)，找其中的一對(duì)點(diǎn)，使得在n個(gè)點(diǎn)的所有點(diǎn)對(duì)中，該點(diǎn)對(duì)的距離最小。

    嚴(yán)格地說(shuō)，最接近點(diǎn)對(duì)可能多于1對(duì)。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里只限于找其中的一對(duì)。

    這個(gè)問(wèn)題很容易理解，似乎也不難解決。我們只要將每一點(diǎn)與其他n-1個(gè)點(diǎn)的距離算出，找出達(dá)到最小距離的兩個(gè)點(diǎn)即可。然而，這樣做效率太低，需要O(n²)的計(jì)算時(shí)間。我們能否找到問(wèn)題的一個(gè)O (nlogn)算法。

    這個(gè)問(wèn)題顯然滿(mǎn)足分治法的第一個(gè)和第二個(gè)適用條件，我們考慮將所給的平面上n個(gè)點(diǎn)的集合S分成2個(gè)子集S₁和S₂，每個(gè)子集中約有n/2個(gè)點(diǎn)，然后在每個(gè)子集中遞歸地求其最接近的點(diǎn)對(duì)。在這里，一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題是如何實(shí)現(xiàn)分治法中的合并步驟，即由S₁和S₂的最接近點(diǎn)對(duì)，如何求得原集合S中的最接近點(diǎn)對(duì)，因?yàn)?/SPAN>S₁和S₂的最接近點(diǎn)對(duì)未必就是S的最接近點(diǎn)對(duì)。如果組成S的最接近點(diǎn)對(duì)的2個(gè)點(diǎn)都在S₁中或都在S₂中，則問(wèn)題很容易解決。但是，如果這2個(gè)點(diǎn)分別在S₁和S₂中，則對(duì)于S₁中任一點(diǎn)p，S₂中最多只有n/2個(gè)點(diǎn)與它構(gòu)成最接近點(diǎn)對(duì)的候選者，仍需做n²/4次計(jì)算和比較才能確定S的最接近點(diǎn)對(duì)。因此，依此思路，合并步驟耗時(shí)為O(n²)。整個(gè)算法所需計(jì)算時(shí)間T(n)應(yīng)滿(mǎn)足：

T(n)=2T(n/2)+O(n²)

    它的解為T(n)=O(n²)，即與合并步驟的耗時(shí)同階，顯示不出比用窮舉的方法好。從解遞歸方程的套用公式法，我們看到問(wèn)題出在合并步驟耗時(shí)太多。這啟發(fā)我們把注意力放在合并步驟上。

    為了使問(wèn)題易于理解和分析，我們先來(lái)考慮一維的情形。此時(shí)S中的n個(gè)點(diǎn)退化為x軸上的n個(gè)實(shí)數(shù)x₁、x₂、…、x_n。最接近點(diǎn)對(duì)即為這n個(gè)實(shí)數(shù)中相差最小的2個(gè)實(shí)數(shù)。我們顯然可以先將x₁、x₂、…、x_n排好序，然后，用一次線(xiàn)性?huà)呙杈涂梢哉页鲎罱咏�點(diǎn)對(duì)。這種方法主要計(jì)算時(shí)間花在排序上，因此如在排序算法中所證明的，耗時(shí)為O(nlogn)。然而這種方法無(wú)法直接推廣到二維的情形。因此，對(duì)這種一維的簡(jiǎn)單情形，我們還是嘗試用分治法來(lái)求解，并希望能推廣到二維的情形。

    假設(shè)我們用x軸上某個(gè)點(diǎn)m將S劃分為2個(gè)子集S₁和S₂，使得S₁={x∈S | x≤m}；S₂={x∈S | x>m}。這樣一來(lái)，對(duì)于所有p∈S₁和q∈S₂有p<q。

    遞歸地在S₁和S₂上找出其最接近點(diǎn)對(duì){p₁，p₂}和{q₁，q₂}，并設(shè)δ=min{|p₁-p₂|，|q₁-q₂|}，S中的最接近點(diǎn)對(duì)或者是{p₁，p₂}，或者是{q₁，q₂}，或者是某個(gè){p₃，q₃}，其中p₃∈S₁且q₃∈S₂。如圖1所示。

圖1 一維情形的分治法

    我們注意到，如果S的最接近點(diǎn)對(duì)是{p₃，q₃}，即 | p₃-q₃ | < δ，則p₃和q₃兩者與m的距離不超過(guò)δ，即 | p₃-m | < δ，| q₃-m | < δ，也就是說(shuō)，p₃∈(m-δ，m)，q₃∈(m，m+δ)。由于在S₁中，每個(gè)長(zhǎng)度為δ的半閉區(qū)間至多包含一個(gè)點(diǎn)（否則必有兩點(diǎn)距離小于δ），并且m是S₁和S₂的分割點(diǎn)，因此(m-δ，m)中至多包含S中的一個(gè)點(diǎn)。同理，(m，m+δ)中也至多包含S中的一個(gè)點(diǎn)。由圖1可以看出，如果(m-δ，m)中有S中的點(diǎn)，則此點(diǎn)就是S₁中最大點(diǎn)。同理，如果(m，m+δ)中有S中的點(diǎn)，則此點(diǎn)就是S₂中最小點(diǎn)。因此，我們用線(xiàn)性時(shí)間就能找到區(qū)間(m-δ，m)和(m，m+δ)中所有點(diǎn)，即p₃和q₃。從而我們用線(xiàn)性時(shí)間就可以將S₁的解和S₂的解合并成為S的解。也就是說(shuō)，按這種分治策略，合并步可在O(n)時(shí)間內(nèi)完成。這樣是否就可以得到一個(gè)有效的算法了呢？

    還有一個(gè)問(wèn)題需要認(rèn)真考慮，即分割點(diǎn)m的選取，及S₁和S₂的劃分。選取分割點(diǎn)m的一個(gè)基本要求是由此導(dǎo)出集合S的一個(gè)線(xiàn)性分割，即S=S₁∪S₂ ，S₁∩S₂=Φ，且S₁ {x | x≤m}；S₂ {x | x>m}。容易看出，如果選取m=[max（S）+min（S）]/2，可以滿(mǎn)足線(xiàn)性分割的要求。選取分割點(diǎn)后，再用O(n)時(shí)間即可將S劃分成S₁={x∈S | x≤m}和S₂={x∈S | x>m}。然而，這樣選取分割點(diǎn)m，有可能造成劃分出的子集S₁和S₂的不平衡。例如在最壞情況下，|S₁|=1，|S₂|=n-1，由此產(chǎn)生的分治法在最壞情況下所需的計(jì)算時(shí)間T（n）應(yīng)滿(mǎn)足遞歸方程：

T（n）=T（n-1）+O（n）

    它的解是T（n）=O（n²）。這種效率降低的現(xiàn)象可以通過(guò)分治法中“平衡子問(wèn)題”的方法加以解決。也就是說(shuō)，我們可以通過(guò)適當(dāng)選擇分割點(diǎn)m，使S₁和S₂中有大致相等個(gè)數(shù)的點(diǎn)。自然地，我們會(huì)想到用S的n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的中位數(shù)來(lái)作分割點(diǎn)。在選擇算法中介紹的選取中位數(shù)的線(xiàn)性時(shí)間算法使我們可以在O（n）時(shí)間內(nèi)確定一個(gè)平衡的分割點(diǎn)m。

    至此，我們可以設(shè)計(jì)出一個(gè)求一維點(diǎn)集S中最接近點(diǎn)對(duì)的距離的算法pair如下。

Float pair（S）;

{     if | S | =2   δ= | x[2]－x[1] |           /*x[1..n]存放的是S中n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)*/

else  

{     if ( | S | =1)   δ=∞

           else

{     m=S中各點(diǎn)的坐標(biāo)值的中位數(shù);

               構(gòu)造S1和S2，使S1={x∈S | x≤m}，S2={x∈S | x＞m};

δ1=pair(S1);

                δ2=pair(S2);

            p=max(S1);

            q=min(S2);

            δ=min(δ1，δ2，q-p);

}

return(δ);

}

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