2014年計算機二級公共基礎(chǔ)知識總結(jié)第一章(4)

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　　1.4樹與二叉樹

　　考點7 樹與二叉樹及其基本性質(zhì)

　　考試鏈接：

　　考點7在筆試考試中，是一個必考的內(nèi)容，在筆試考試中出現(xiàn)的幾率為100%，主要是以選擇的形式出現(xiàn)，有時也有出現(xiàn)在填空題中，分值為2分，此考點為重點掌握內(nèi)容。重點識記樹及二叉樹的性質(zhì)。

　　誤區(qū)警示：

　　滿二叉樹也是完全二叉樹，而完全二叉樹一般不是滿二叉樹。應(yīng)該注意二者的區(qū)別。

　　1、樹的基本概念

　　樹(tree)是一種簡單的非線性結(jié)構(gòu)。在樹結(jié)構(gòu)中，每一個結(jié)點只有一個前件，稱為父結(jié)點，沒有前件的結(jié)點只有一個，稱為樹的根結(jié)點。每一個結(jié)點可以有多個后件，它們稱為該結(jié)點的子結(jié)點。沒有后件的結(jié)點稱為葉子結(jié)點。

　　在樹結(jié)構(gòu)中，一個結(jié)點所擁有的后件個數(shù)稱為該結(jié)點的度。葉子結(jié)點的度為0。在樹中，所有結(jié)點中的最大的度稱為樹的度。

　　2、二叉樹及其基本性質(zhì)

　　(1)二叉樹的定義

　　二叉樹是一種很有用的非線性結(jié)構(gòu)，具有以下兩個特點：

　�、俜强斩鏄渲挥幸粋�根結(jié)點;

　　②每一個結(jié)點最多有兩棵子樹，且分別稱為該結(jié)點的左子樹和右子樹。

　　由以上特點可以看出，在二叉樹中，每一個結(jié)點的度最大為2，即所有子樹(左子樹或右子樹)也均為二叉樹，而樹結(jié)構(gòu)中的每一個結(jié)點的度可以是任意的。另外，二叉樹中的每個結(jié)點的子樹被明顯地分為左子樹和右子樹。在二叉樹中，一個結(jié)點可以只有左子樹而沒有右子樹，也可以只有右子樹而沒有左子樹。當一個結(jié)點既沒有左子樹也沒有右子樹時，該結(jié)點即為葉子結(jié)點。

　　(2)二叉樹的基本性質(zhì)

　　二叉樹具有以下幾個性質(zhì)：

　　性質(zhì)1：在二叉樹的第k層上，最多有2k-1(k≥1)個結(jié)點;

　　性質(zhì)2：深度為m的二叉樹最多有2m-1個結(jié)點;

　　性質(zhì)3：在任意一棵二叉樹中，度為0的結(jié)點(即葉子結(jié)點)總是比度為2的結(jié)點多一個。

　　性質(zhì)4：具有n個結(jié)點的二叉樹，其深度至少為[log2n]+1，其中[log2n]表示取log2n的整數(shù)部分。

　　小技巧：在二叉樹的遍歷中，無論是前序遍歷，中序遍歷還是后序遍歷，二叉樹的葉子結(jié)點的先后順序都是不變的。

　　3、滿二叉樹與完全二叉樹

　　滿二叉樹是指這樣的一種二叉樹：除最后一層外，每一層上的所有結(jié)點都有兩個子結(jié)點。在滿二叉樹中，每一層上的結(jié)點數(shù)都達到最大值，即在滿二叉樹的第k層上有2k-1個結(jié)點，且深度為m的滿二叉樹有2m-1個結(jié)點。

　　完全二叉樹是指這樣的二叉樹：除最后一層外，每一層上的結(jié)點數(shù)均達到最大值;在最后一層上只缺少右邊的若干結(jié)點。

　　對于完全二叉樹來說，葉子結(jié)點只可能在層次最大的兩層上出現(xiàn)：對于任何一個結(jié)點，若其右分支下的子孫結(jié)點的最大層次為p，則其左分支下的子孫結(jié)點的最大層次或為p，或為p+1。

　　完全二叉樹具有以下兩個性質(zhì)：

　　性質(zhì)5:具有n個結(jié)點的完全二叉樹的深度為[log2n]+1。

　　性質(zhì)6:設(shè)完全二叉樹共有n個結(jié)點。如果從根結(jié)點開始，按層次(每一層從左到右)用自然數(shù)1，2，……，n給結(jié)點進行編號，則對于編號為k(k=1，2，……，n)的結(jié)點有以下結(jié)論：

　�、偃鬹=1，則該結(jié)點為根結(jié)點，它沒有父結(jié)點;若k>1，則該結(jié)點的父結(jié)點編號為INT(k/2)。

　　②若2k≤n，則編號為k的結(jié)點的左子結(jié)點編號為2k;否則該結(jié)點無左子結(jié)點(顯然也沒有右子結(jié)點)。

　�、廴�2k+1≤n，則編號為k的結(jié)點的右子結(jié)點編號為2k+1;否則該結(jié)點無右子結(jié)點。

　　考點8 二叉樹的遍歷

　　考試鏈接：

　　考點8在筆試考試中考核幾率為30%，分值為2分，讀者應(yīng)該熟練掌握各種遍歷的具體算法，能由兩種遍歷的結(jié)果推導(dǎo)另一種遍歷的結(jié)果。

　　在遍歷二叉樹的過程中，一般先遍歷左子樹，再遍歷右子樹。在先左后右的原則下，根據(jù)訪問根結(jié)點的次序，二叉樹的遍歷分為三類：前序遍歷、中序遍歷和后序遍歷。

　　(1)前序遍歷：先訪問根結(jié)點、然后遍歷左子樹，最后遍歷右子樹;并且，在遍歷左、右子樹時，仍然先訪問根結(jié)點，然后遍歷左子樹，最后遍歷右子樹。

　　(2)中序遍歷：先遍歷左子樹、然后訪問根結(jié)點，最后遍歷右子樹;并且，在遍歷左、右子樹時，仍然先遍歷左子樹，然后訪問根結(jié)點，最后遍歷右子樹。

　　(3)后序遍歷：先遍歷左子樹、然后遍歷右子樹，最后訪問根結(jié)點;并且，在遍歷左、右子樹時，仍然先遍歷左子樹，然后遍歷右子樹，最后訪問根結(jié)點。

　　疑難解答：樹與二叉樹的不同之處是什么?

　　在二叉樹中，每一個結(jié)點的度最大為2，即所有子樹(左子樹或右子樹)也均為二叉樹，而樹結(jié)構(gòu)中的每一個結(jié)點的度可以是任意的。

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