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　　在從1到n的正數(shù)中1出現(xiàn)的次數(shù)

　　題目：輸入一個(gè)整數(shù)n，求從1到n這n個(gè)整數(shù)的十進(jìn)制表示中1出現(xiàn)的次數(shù)。

　　例如輸入12，從1到12這些整數(shù)中包含1 的數(shù)字有1，10，11和12，1一共出現(xiàn)了5次。

　　分析：這是一道廣為流傳的google面試題。用最直觀的方法求解并不是很難，但遺憾的是效率不是很高;而要得出一個(gè)效率較高的算法，需要比較強(qiáng)的分析能力，并不是件很容易的事情。當(dāng)然，google的面試題中簡(jiǎn)單的也沒(méi)有幾道。

　　首先我們來(lái)看最直觀的方法，分別求得1到n中每個(gè)整數(shù)中1出現(xiàn)的次數(shù)。而求一個(gè)整數(shù)的十進(jìn)制表示中1出現(xiàn)的次數(shù)，就和本面試題系列的第22題很相像了。我們每次判斷整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是不是1。如果這個(gè)數(shù)字大于10，除以10之后再判斷個(gè)位數(shù)字是不是1。基于這個(gè)思路，不難寫(xiě)出如下的代碼：

　　int NumberOf1(unsigned int n);

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　　// Find the number of 1 in the integers between 1 and n

　　// Input: n - an integer

　　// Output: the number of 1 in the integers between 1 and n

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　　int NumberOf1BeforeBetween1AndN_Solution1(unsigned int n)

　　{

　　int number = 0;

　　// Find the number of 1 in each integer between 1 and n

　　for(unsigned int i = 1; i <= n; ++ i)

　　number += NumberOf1(i);

　　return number;

　　}

　　/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

　　// Find the number of 1 in an integer with radix 10

　　// Input: n - an integer

　　// Output: the number of 1 in n with radix

　　/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

　　int NumberOf1(unsigned int n)

　　{

　　int number = 0;

　　while(n)

　　{

　　if(n % 10 == 1)

　　number ++;

　　n = n / 10;

　　}

　　return number;

　　}

　　這個(gè)思路有一個(gè)非常明顯的缺點(diǎn)就是每個(gè)數(shù)字都要計(jì)算1在該數(shù)字中出現(xiàn)的次數(shù)，因此時(shí)間復(fù)雜度是O(n)。當(dāng)輸入的n非常大的時(shí)候，需要大量的計(jì)算，運(yùn)算效率很低。我們?cè)囍页鲆恍┮?guī)律，來(lái)避免不必要的計(jì)算。

　　我們用一個(gè)稍微大一點(diǎn)的數(shù)字21345作為例子來(lái)分析。我們把從1到21345的所有數(shù)字分成兩段，即1-1235和1346-21345。

　　先來(lái)看1346-21345中1出現(xiàn)的次數(shù)。1的出現(xiàn)分為兩種情況：一種情況是1出現(xiàn)在最高位(萬(wàn)位)。從1到21345的數(shù)字中，1出現(xiàn)在10000-19999這10000個(gè)數(shù)字的萬(wàn)位中，一共出現(xiàn)了10000(104)次;另外一種情況是1出現(xiàn)在除了最高位之外的其他位中。例子中1346-21345，這20000個(gè)數(shù)字中后面四位中1出現(xiàn)的次數(shù)是2000次(2*103，其中2的第一位的數(shù)值，103是因?yàn)閿?shù)字的后四位數(shù)字其中一位為1，其余的三位數(shù)字可以在0到9這10個(gè)數(shù)字任意選擇，由排列組合可以得出總次數(shù)是2*103)。

　　至于從1到1345的所有數(shù)字中1出現(xiàn)的次數(shù)，我們就可以用遞歸地求得了。這也是我們?yōu)槭裁匆?-21345分為1-1235和1346-21345兩段的原因。因?yàn)榘?1345的最高位去掉就得到1345，便于我們采用遞歸的思路。

　　分析到這里還有一種特殊情況需要注意：前面我們舉例子是最高位是一個(gè)比1大的數(shù)字，此時(shí)最高位1出現(xiàn)的次數(shù)104(對(duì)五位數(shù)而言)。但如果最高位是1呢?比如輸入12345，從10000到12345這些數(shù)字中，1在萬(wàn)位出現(xiàn)的次數(shù)就不是104次，而是2346次了，也就是除去最高位數(shù)字之后剩下的數(shù)字再加上1。

　　基于前面的分析，我們可以寫(xiě)出以下的代碼。在參考代碼中，為了編程方便，我把數(shù)字轉(zhuǎn)換成字符串了。

　　#include "string.h"

　　#include "stdlib.h"

　　int NumberOf1(const char* strN);

　　int PowerBase10(unsigned int n);

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　　// Find the number of 1 in an integer with radix 10

　　// Input: n - an integer

　　// Output: the number of 1 in n with radix

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　　int NumberOf1BeforeBetween1AndN_Solution2(int n)

　　{

　　if(n <= 0)

　　return 0;

　　// convert the integer into a string

　　char strN[50];

　　sprintf(strN, "%d", n);

　　return NumberOf1(strN);

　　}

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