難點(diǎn)5  求解函數(shù)解析式

求解函數(shù)解析式是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，需引起重視.本節(jié)主要幫助考生在深刻理解函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，掌握求函數(shù)解析式的幾種方法，并形成能力，并培養(yǎng)考生的創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的能力.

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★)已知f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1).

●案例探究

［例1］(1)已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表達(dá)式.

(2)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求��f(x)��的表達(dá)式.

命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念中的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則，以及計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.屬★★★★題目.

知識(shí)依托：利用函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，特別是對(duì)“f”的理解，用好等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意定義域.

錯(cuò)解分析：本題對(duì)思維能力要求較高，對(duì)定義域的考查、等價(jià)轉(zhuǎn)化易出錯(cuò).

技巧與方法：(1)用換元法；(2)用待定系數(shù)法.

解：(1)令t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),則x=at.

因此f(t)= (at－a－t)

∴f(x)= (ax－a－x)(a>1,x>0;0<a<1,x<0)

(2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c

得

并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同時(shí)等于1或－1，所以所求函數(shù)為：f(x)=2x2－1或f(x)=－2x2+1或f(x)=－x2－x+1或f(x)=x2－x－1或f(x)=－x2+x+1或f(x)=x2+x－1.

［例2］設(shè)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤－1時(shí)，y=f(x)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(－2，0)，斜率為1的射線，又在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)在(0，2)，且過點(diǎn)(－1，1)的一段拋物線，試寫出函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并在圖中作出其圖象.

命題意圖：本題主要考查函數(shù)基本知識(shí)、拋物線、射線的基本概念及其圖象的作法，對(duì)分段函數(shù)的分析需要較強(qiáng)的思維能力.因此，分段函數(shù)是今后高考的熱點(diǎn)題型.屬★★★★題目. 知識(shí)依托：函數(shù)的奇偶性是橋梁，分類討論是關(guān)鍵，待定系數(shù)求出曲線方程是主線.

錯(cuò)解分析：本題對(duì)思維能力要求很高，分類討論、綜合運(yùn)用知識(shí)易發(fā)生混亂.

技巧與方法：合理進(jìn)行分類，并運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式.

解：(1)當(dāng)x≤－1時(shí)，設(shè)f(x)=x+b

∵射線過點(diǎn)(－2，0).∴0=－2+b即b=2，∴f(x)=x+2.

(2)當(dāng)－1<x<1時(shí)，設(shè)f(x)=ax2+2.

∵拋物線過點(diǎn)(－1，1)，∴1=a·(－1)2+2,即a=－1

∴f(x)=－x2+2.

(3)當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=－x+2

綜上可知：f(x)=作圖由讀者來完成.

●錦囊妙計(jì)

本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有：

1.待定系數(shù)法，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，用待定系數(shù)法；

2.換元法或配湊法，已知復(fù)合函數(shù)f［g(x)］的表達(dá)式可用換元法，當(dāng)表達(dá)式較簡(jiǎn)單時(shí)也可用配湊法；

3.消參法，若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式，則用解方程組消參的方法求解f(x);

另外，在解題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)若函數(shù)f(x)=(x≠)在定義域內(nèi)恒有f［f(x)］=x,則m等于(    )

A.3 B. C.－ D.－3

2.(★★★★★)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，在x≤1時(shí)，f(x)=(x+1)2－1,則x>1時(shí)f(x)等于(    )

A.f(x)=(x+3)2－1 B.f(x)=(x－3)2－1

C.f(x)=(x－3)2+1 D.f(x)=(x－1)2－1

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