難點(diǎn)6  函數(shù)值域及求法

函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會用函數(shù)的值域解決實(shí)際應(yīng)用問題.

●難點(diǎn)磁場

(★★★★★)設(shè)m是實(shí)數(shù)，記M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+).

(1)證明：當(dāng)m∈M時，f(x)對所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實(shí)數(shù)x都有意義，則m∈M.

(2)當(dāng)m∈M時，求函數(shù)f(x)的最小值.

(3)求證：對每個m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1.

●案例探究

［例1］設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為λ(λ<1),畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最小？如果要求λ∈［］，那么λ為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最小？

命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問題，同時考查運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識.

錯解分析：證明S(λ)在區(qū)間［］上的單調(diào)性容易出錯，其次不易把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

技巧與方法：本題屬于應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

解：設(shè)畫面高為x cm,寬為λx cm,則λx2=4840,設(shè)紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,將x=代入上式得：S=5000+44 (8+),當(dāng)8=,即λ=<1)時S取得最小值.此時高：x==88 cm,寬：λx=×88=55 cm.

如果λ∈［］可設(shè)≤λ1<λ2≤,則由S的表達(dá)式得：

又≥,故8－>0,

∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在區(qū)間［］內(nèi)單調(diào)遞增.��

從而對于λ∈［］,當(dāng)λ=時，S(λ)取得最小值.

答：畫面高為88 cm,寬為55 cm時，所用紙張面積最小.如果要求λ∈［］,當(dāng)λ=時，所用紙張面積最小.

［例2］已知函數(shù)f(x)=,x∈［1,+∞

(1)當(dāng)a=時，求函數(shù)f(x)的最小值.

(2)若對任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力，屬★★★★級題目.

知識依托：本題主要通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想.

錯解分析：考生不易考慮把求a的取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

技巧與方法：解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把f(x)>0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運(yùn)用分類討論思想解得.

 (1)解：當(dāng)a=時，f(x)=x++2

∵f(x)在區(qū)間［1，+∞上為增函數(shù)，

∴f(x)在區(qū)間［1，+∞上的最小值為f(1)=.

(2)解法一：在區(qū)間［1，+∞上，f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立.

設(shè)y=x2+2x+a,x∈［1,+∞

∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1遞增，

∴當(dāng)x=1時，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3.��

解法二：f(x)=x++2,x∈［1,+∞

當(dāng)a≥0時，函數(shù)f(x)的值恒為正；

當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)遞增，故當(dāng)x=1時，f(x)min=3+a,

當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a>0時，函數(shù)f(x)>0恒成立，故a>－3.

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