殲滅難點訓練

一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)為奇函數.

答案：C

2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函數，圖象關于原點對稱.

答案：C

二、3.解析：令t=|x+1|,則t在(－∞,－1上遞減，又y=f(x)在R上單調遞增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上遞減.

答案：(－∞,－1

4.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，

∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞單調遞增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,

∴b=－a(x1+x2)＜0.

答案：(－∞,0）

三、5.證明：(1）設－1＜x1＜x2＜+∞,則x2－x1>0, >1且>0,

∴>0,又x1+1>0,x2+1>0

∴>0,

于是f(x2)－f(x1)=+ >0

∴f(x)在(－1，+∞）上為遞增函數.

(2）證法一：設存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)=0,則且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2與x0＜0矛盾，故f(x)=0沒有負數根.

證法二：設存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,則＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1與f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,則>0, >0，∴f(x0)>0與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負數根.

6.證明：∵x≠0,∴f(x)=,

設1＜x1＜x2＜+∞,則.

∴f(x1)>f(x2),��故函數f(x)在(1，+∞）上是減函數.(本題也可用求導方法解決）

7.證明：(1）不妨令x=x1－x2,則f(－x)=f(x2－x1)= 

=－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函數.

(2）要證f(x+4a)=f(x),可先計算f(x+a),f(x+2a).

∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.

∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a為周期的周期函數.

8.(1）證明：設x1＜x2,則x2－x1－>－,由題意f(x2－x1－)>0,

∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0,

∴f(x)是單調遞增函數.

(2)解：f(x)=2x+1.驗證過程略.