2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競賽講座(8)

　　競賽專題講座08

　　-幾何變換

　　【競賽知識點撥】

　　一、 平移變換

　　1.　 定義 設(shè) 是一條給定的有向線段，T是平面上的一個變換，它把平面圖形F上任一點X變到X‘，使得 = ，則T叫做沿有向線段 的平移變換。記為X X’，圖形F F‘ 。

　　2.　 主要性質(zhì) 在平移變換下，對應(yīng)線段平行且相等，直線變?yōu)橹本�，三角形變?yōu)槿�角形，圓變?yōu)閳A。兩對應(yīng)點連線段與給定的有向線段平行(共線)且相等。

　　二、 軸對稱變換

　　1.　 定義 設(shè)l是一條給定的直線，S是平面上的一個變換，它把平面圖形F上任一點X變到X’，使得X與X‘關(guān)于直線l對稱，則S叫做以l為對稱軸的軸對稱變換。記為X X’，圖形F F‘ 。

　　2.　 主要性質(zhì) 在軸對稱變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線(段)或者平行，或者交于對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分。

　　三、 旋轉(zhuǎn)變換

　　1.　 定義 設(shè)α是一個定角，O是一個定點，R是平面上的一個變換，它把點O仍變到O(不動點)，而把平面圖形F上任一點X變到X’，使得OX‘=OX，且∠XOX’=α，則R叫做繞中心O，旋轉(zhuǎn)角為α的旋轉(zhuǎn)變換。記為X X‘，圖形F F’ 。

　　其中α<0時，表示∠XOX‘的始邊OX到終邊OX’的旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向;α>0時，為逆時針方向。

　　2. 主要性質(zhì) 在旋轉(zhuǎn)變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

　　四、 位似變換

　　1.　 定義 設(shè)O是一個定點，H是平面上的一個變換，它把平面圖形F上任一點X變到X‘，使得 =k· ，則H叫做以O(shè)為位似中心，k為位似比的位似變換。記為X X’，圖形F F‘ 。

　　其中k>0時，X’在射線OX上，此時的位似變換叫做外位似;k<0時, X‘在射線OX的反向延長線上，此時的位似變換叫做內(nèi)位似。

　　2.　 主要性質(zhì) 在位似變換下，一對位似對應(yīng)點與位似中心共線;一條線上的點變到一條線上，且保持順序，即共線點變?yōu)楣簿�點，共點線變?yōu)楣颤c線;對應(yīng)線段的比等于位似比的絕對值，對應(yīng)圖形面積的比等于位似比的平方;不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行，即一直線變?yōu)榕c它平行的直線;任何兩條直線的平行、相交位置關(guān)系保持不變;圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對應(yīng)點;兩對應(yīng)圓相切時切點為位似中心。

　　【競賽例題剖析】

　　【例1】P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點，且∠PAB=∠PCB。

　　求證：∠PBA=∠PDA。

　　【分析】作變換△ABP △DCP’，

　　則△ABP≌△DCP‘，∠1=∠5，∠3=∠6。由PP’ AD BC，ADPP‘、PP’CB都是平行四邊形，知∠2=∠8，∠4=∠7。由已知∠1=∠2，得∠5=∠8。

　　∴P、D、P‘、C四點共圓。故∠6=∠7，即∠3=∠4。

　　【例2】“風(fēng)平三角形”中，AA’=BB‘=CC’=2，∠AOB‘=∠BOC’=60°。

　　求證：S△AOB‘+S△BOC’+S△COA‘< 。

　　【分析】作變換△A’OC △AQR‘，△BOC’ △B‘PR’‘，則R’、R‘’重合，記為R。P、R、Q共線，O、A、Q共線，O、B‘、P共線，△OPQ為等邊三角形。

　　∴S△AOB’+S△BOC‘+S△COA’

　　【分析】取AC、BD的中點E、F，令A(yù)C A‘C’，則A‘BC’D是一個符合條件的平行四邊形。延長AF、CC‘交于G。

　　∵E是AC的中點且EF∥CC’，F(xiàn)C‘∥EC，∴F、C’分別為AG、CG的中點。

　　∴AD+BC=BG+BC≥2BC‘=A’D+BC‘。

　　同理可得AB+DC≥A’B+DC‘。

　　故當(dāng)四邊形為平行四邊形時，周長最小。

　　【評注】當(dāng)已知條件分散，尤其是相等的條件分散，而又不容易找出證明途徑，或題目中有平行條件時，將圖形的某一部分施行平移變換，常常十分湊效。

　　2011年中考數(shù)學(xué)備考輔導(dǎo)：選擇題精選匯總

　　名師解讀南京2011年中考數(shù)學(xué)命題趨勢