2011年中招考試：《初中數(shù)學》競賽講座(9)

　　競賽講座09

　　-圓

　　基礎知識

　　如果沒有圓，平面幾何將黯然失色.

　　圓是一種特殊的幾何圖形，應當掌握圓的基本性質，垂線定理，直線與圓的位置關系，和圓有關的角，切線長定理，圓冪定理，圓和圓的位置關系，多邊形與圓的位置關系.

　　圓的幾何問題不是獨立的，它與直線形結合起來，將構成許多豐富多彩的、漂亮的幾何問題，“三角形的心”，“幾何著名的幾何定理”，“共圓、共線、共點”，“直線形” 將構成圓的綜合問題的基礎.

　　本部分著重研究下面幾個問題：

　　1.角的相等及其和、差、倍、分;

　　2.線段的相等及其和、差、倍、分;

　　3.二直線的平行、垂直;

　　4.線段的比例式或等積式;

　　5.直線與圓相切;

　　6.競賽數(shù)學中幾何命題的等價性.

　　命題分析

　　例1.已知 為平面上兩個半徑不等的⊙ 和⊙ 的一個交點，兩圓的外公切線分別為 ， 、 分別為 、 的中點，求證： .

　　例2.證明：唯一存在三邊長為連續(xù)整數(shù)且有一個角為另一個角的兩倍的三角形.

　　例3.延長 至 ，以 為直徑作半圓，圓心為 ， 是半圓上一點， 為銳角. 在線段 上， 在半圓上， ∥ ，且 ， ∥ .求證： .

　　例4.求證：若一個圓外切四邊形有兩條對邊相等，則圓心到另外兩邊的距離相等.

　　例5.設 是△ 中最小的內角，點 和 將這個三角形的外接圓分成兩段弧， 是落在不含 的那段弧上且不等于 與 的一個點，線段 和 的垂直平分線分別交線段 于 和 ，直線 和 相交于 .證明： .

　　例6.菱形 的內切圓 與各邊分別切于 ，在 與 上分別作⊙ 切線交 于 ，交 于 ，交 于 ，交 于 ，求證： ∥ .

　　例7.⊙ 和⊙ 與△ 的三邊所在直線都相切， 為切點，并且 的延長線交于點 .求證：直線 與 垂直.

　　例8.在圓中，兩條弦 相交于 點， 為弦 上嚴格在 、 之間的點.過 的圓在 點的切線分別交直線 、 于 .已知 ，求 (用 表示).

　　例9.設點 和 是△ 的邊 上的兩點，使得 .又設 和 分別是△ 、△ 的內切圓與 的切點.求證： .

　　例10.設△ 滿足 ， ，過 作△ 外接圓 的切線，交直線 于 ，設 關于直線 的對稱點為 ，由 到 所作垂線的垂足為 ， 的中點為 ， 交 于 點，證明直線 為△ 外接圓的切線.

　　例11.兩個圓 和 被包含在圓 內，且分別現(xiàn)圓 相切于兩個不同的點 和 . 經過 的圓心.經過 和 的兩個交點的直線與 相交于點 和 ，直線 和直線 分別與 相交于點 和 .求證： 與 相切.

　　例12.已知兩個半徑不相等的⊙ 和⊙ 相交于 、 兩點，且⊙ 、⊙ 分別與⊙ 內切于 、 兩點.求證： 的充要條件是 、 、 三點共線.

　　例13.在凸四邊形 中， 與 不平行，⊙ 過 、 且與邊 相切于點 ，⊙ 過 、 且與邊 相切于點 .⊙ 和⊙ 相交于 、 ，求證： 平分線段 的充要條件是 ∥ .

　　例14.設凸四邊形 的兩條對角線 與 互相垂直，且兩對邊 與 不平行.點 為線段 與 的垂直平分線的交點，且在四邊形的內部.求證： 、 、 、 四點共圓的充要條件為 .

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