2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(9)

　　競(jìng)賽講座09

　　-圓

　　基礎(chǔ)知識(shí)

　　如果沒有圓，平面幾何將黯然失色.

　　圓是一種特殊的幾何圖形，應(yīng)當(dāng)掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，垂線定理，直線與圓的位置關(guān)系，和圓有關(guān)的角，切線長(zhǎng)定理，圓冪定理，圓和圓的位置關(guān)系，多邊形與圓的位置關(guān)系.

　　圓的幾何問題不是獨(dú)立的，它與直線形結(jié)合起來(lái)，將構(gòu)成許多豐富多彩的、漂亮的幾何問題，“三角形的心”，“幾何著名的幾何定理”，“共圓、共線、共點(diǎn)”，“直線形” 將構(gòu)成圓的綜合問題的基礎(chǔ).

　　本部分著重研究下面幾個(gè)問題：

　　1.角的相等及其和、差、倍、分;

　　2.線段的相等及其和、差、倍、分;

　　3.二直線的平行、垂直;

　　4.線段的比例式或等積式;

　　5.直線與圓相切;

　　6.競(jìng)賽數(shù)學(xué)中幾何命題的等價(jià)性.

　　命題分析

　　例1.已知 為平面上兩個(gè)半徑不等的⊙ 和⊙ 的一個(gè)交點(diǎn)，兩圓的外公切線分別為 ， 、 分別為 、 的中點(diǎn)，求證： .

　　例2.證明：唯一存在三邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)且有一個(gè)角為另一個(gè)角的兩倍的三角形.

　　例3.延長(zhǎng) 至 ，以 為直徑作半圓，圓心為 ， 是半圓上一點(diǎn)， 為銳角. 在線段 上， 在半圓上， ∥ ，且 ， ∥ .求證： .

　　例4.求證：若一個(gè)圓外切四邊形有兩條對(duì)邊相等，則圓心到另外兩邊的距離相等.

　　例5.設(shè) 是△ 中最小的內(nèi)角，點(diǎn) 和 將這個(gè)三角形的外接圓分成兩段弧， 是落在不含 的那段弧上且不等于 與 的一個(gè)點(diǎn)，線段 和 的垂直平分線分別交線段 于 和 ，直線 和 相交于 .證明： .

　　例6.菱形 的內(nèi)切圓 與各邊分別切于 ，在 與 上分別作⊙ 切線交 于 ，交 于 ，交 于 ，交 于 ，求證： ∥ .

　　例7.⊙ 和⊙ 與△ 的三邊所在直線都相切， 為切點(diǎn)，并且 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) .求證：直線 與 垂直.

　　例8.在圓中，兩條弦 相交于 點(diǎn)， 為弦 上嚴(yán)格在 、 之間的點(diǎn).過 的圓在 點(diǎn)的切線分別交直線 、 于 .已知 ，求 (用 表示).

　　例9.設(shè)點(diǎn) 和 是△ 的邊 上的兩點(diǎn)，使得 .又設(shè) 和 分別是△ 、△ 的內(nèi)切圓與 的切點(diǎn).求證： .

　　例10.設(shè)△ 滿足 ， ，過 作△ 外接圓 的切線，交直線 于 ，設(shè) 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為 ，由 到 所作垂線的垂足為 ， 的中點(diǎn)為 ， 交 于 點(diǎn)，證明直線 為△ 外接圓的切線.

　　例11.兩個(gè)圓 和 被包含在圓 內(nèi)，且分別現(xiàn)圓 相切于兩個(gè)不同的點(diǎn) 和 . 經(jīng)過 的圓心.經(jīng)過 和 的兩個(gè)交點(diǎn)的直線與 相交于點(diǎn) 和 ，直線 和直線 分別與 相交于點(diǎn) 和 .求證： 與 相切.

　　例12.已知兩個(gè)半徑不相等的⊙ 和⊙ 相交于 、 兩點(diǎn)，且⊙ 、⊙ 分別與⊙ 內(nèi)切于 、 兩點(diǎn).求證： 的充要條件是 、 、 三點(diǎn)共線.

　　例13.在凸四邊形 中， 與 不平行，⊙ 過 、 且與邊 相切于點(diǎn) ，⊙ 過 、 且與邊 相切于點(diǎn) .⊙ 和⊙ 相交于 、 ，求證： 平分線段 的充要條件是 ∥ .

　　例14.設(shè)凸四邊形 的兩條對(duì)角線 與 互相垂直，且兩對(duì)邊 與 不平行.點(diǎn) 為線段 與 的垂直平分線的交點(diǎn)，且在四邊形的內(nèi)部.求證： 、 、 、 四點(diǎn)共圓的充要條件為 .

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