2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競賽講座(12)

　　2.一個圖形F能否被覆蓋，與圖形中任意兩點間的距離最大值d密切相關(guān).

　　以下我們稱圖形F中任意兩點間的距離最大值d為圖形F的直徑.

　　我們繼續(xù)研究多個圓覆蓋一個圖形問題.

　　定義 對于圖形G1，G2，…，Gn，若圖形F中的每一點都被這組圖形中的某個所覆蓋，則稱這幾個圖形覆蓋圖形F.

　　圖形G1，G2，…，Gn為n個圓是一特殊情形.

　　例4 以ABCD的邊為直徑向平行四邊形內(nèi)作四個半圓，證明這四個半圓一定覆蓋整個平行四邊形.

　　分析1 ABCD的每一點至少被某個半圓所蓋住.

　　證明1 用反證法.如圖45-4設(shè)存在一點P在以AB、BC、CD、DA為直徑的圓外，根據(jù)定理二，∠APB，∠BPC，∠CPD∠DPA均小于90°，從而

　　∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA<360°.

　　與四角和應(yīng)為周角相矛盾.故P應(yīng)被其中一半圓蓋住，即所作四個半圓覆蓋ABCD.

　　分析2 劃片包干，如圖45-5，將ABCD分為若干部分，使每一部分分別都被上述四個半圓所覆蓋.

　　證明2 在ABCD中，如圖45-5，設(shè)AC≥BD.分別過B、D引垂線BE、DF垂直AC，交AC于E、F，將ABCD分成四個直角三角形，△ABE、△BCE、△CDF、△DAF.每一個直角三角形恰好被一半圓所覆蓋，從而整個四邊形被四個半圓所覆蓋.

　　上述結(jié)論可推廣到任意四邊形，留給讀者考慮.

　　例5 求證：一個直徑為1的圓不能被兩個直徑小于1的圓所覆蓋.

　　證明 如圖45-6，先考慮其中一個小圓即⊙O1去覆蓋大圓O，連O1、O過O作AB⊥O1O，AB為⊙O的直徑(若O1、O重合，那么AB為任意直徑)此時

　　故A、B兩點都不能被⊙O1蓋住.至于另一小圓⊙O2無疑不能同時蓋住A、B兩點，故⊙O1、⊙O2不能覆蓋⊙O.

　　事實上，我們還可以從另一角度給予證明.那就是一個小圓無法覆蓋半個大圓，因此兩個小圓也就不可能覆蓋住整個大圓了.

　　現(xiàn)在，我們著手研究本文一開始就提出的問題.

　　例6 給定一個半徑為1的圓，若用半徑為 的圓去覆蓋它，問至少要幾個才能蓋住.

　　問題需要我們在二個方面給予回答：一是所確定數(shù)目的小圓足以覆蓋大圓;二是少于確定的數(shù)目，則全部小圓不能覆蓋大圓.

　　對于不能覆蓋的推斷，以下兩個原則是常用的：

　　原則1 若圖形F的面積大于圖形G的面積，則圖形G不能覆蓋圖形F.

　　原則2 直徑為d的圖形F不能被直徑小于d的圖形G所覆蓋.

　　兩原則十分顯然，不再證明.

　　四個半徑為 的小圓面積和為π，恰等于大圓面積，而四小圓間若不重迭，則覆蓋其它圖形時，還須排除中間所夾的不屬于四圓的部分，換句話說，四小圓所覆蓋大圓部分面積必小于大圓自身面積，根據(jù)法則1，不可能覆蓋大圓，少于四個小圓更不可能.

　　若有五個小圓，我們改變角度考慮，可將大圓周分為六等分.因小圓直徑為1，五個小圓無法蓋住大圓周，而六個圓周恰好蓋住.

　　還需考慮大圓圓心沒有被蓋住，再添加一個小圓，符合要求!

　　這說明：至少七個以 為半徑的小圓方能覆覆蓋半徑為1的一個大圓.事實上這樣的六個小圓若蓋住大圓周，則大圓心不能被覆蓋.若其中一小圓蓋住大圓圓心，那么該圓又至多蓋住大圓周上一點也就是六個小圓無法覆蓋大圓，而我們作大圓的內(nèi)接正六邊形，分別將小圓圓心與各邊中點重合，再將第七個小圓圓心與大圓圓心重合即可蓋住大圓，如圖45-7，以下給出證明：

　　對于正△OAB，設(shè)OA、OB中點A1、B1，那么∠AA1B=∠AB1B=90°，故四邊形AA1B1B被以AB為直徑的圓覆蓋.另外，△OA1B1被小圓⊙O所覆蓋.類似地可推得七個小圓覆蓋整個大圓.

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