2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(12)

　　3.直線形圖形覆蓋別的圖形的問(wèn)題

　　解決直線形圖形覆蓋別的圖形的問(wèn)題，常須較高的智巧，一般的處理方法是通過(guò)構(gòu)造過(guò)渡圖形，逐步調(diào)整，最終獲得問(wèn)題的解決.

　　例7 證明直徑為1的圖形F可被單位正方形覆蓋.

　　分析 先后用互相垂直的兩對(duì)平行線將圖形夾在中間，再向內(nèi)收縮.

　　證明 取位于水平方向和鉛直方向的兩對(duì)平行直線將圖形F夾在中間，再將位于下方的直線l2向上平移，直至遇到圖形F上點(diǎn)為止，中圖45-8中l(wèi)2′處.接著又將l1向下平移至與l2′相距為1的l1′處止.因圖形F直徑為1.故圖形F仍被二直線l1′，l2′所夾.同樣采用先左后右的順序，將沿直線m1、m2平移至m1′、m2′處，m1′、m2′相距為1，而圖形F依然夾在直線m1′，m2′中間，從而直線l1′、l2′、m1′、m2′所圍成單位正方形即可覆蓋圖形F.

　　運(yùn)用上述方法，我們可進(jìn)一步解決以下問(wèn)題：

　　例8 直徑為1的圖形F可被一個(gè)邊長(zhǎng)為 的正三角形覆蓋，試證明之.

　　證明 作三對(duì)相距為1的平行直線m1、m2、n1、n2，l1、l2，相交直線所成角為60°，圍成可覆蓋圖形F的六邊形及正△A1B1C1，正△A2B2C2(具體作法可參照例7).如圖45-9.設(shè)P為F中任意一點(diǎn)，它到六邊形各邊距離依次為x、a、y、b、z、c.又設(shè)正△A1B1C1的高為h1，正△A­2B2C2的高為h2.因正三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離和等于正三角形的高，得

　　a+b+c=h1，

　　x+y+z=h2.

　　相加,得

　　(x+b)+(y+c)+(z+a)=h1+h2，

　　又x+b=1，y+c=1，z+a=1，

　　∴h1+h2=3.

　　根據(jù)抽屜原則,h1、h2中有一不大于 ,不妨設(shè) ,即正△A1B1C1的高不大于 ,那么它的邊長(zhǎng)

　　因此圖形F可被邊長(zhǎng)不大于 的正三角形即正△A1B1C1所覆蓋.

　　4.圖形的嵌入是覆蓋問(wèn)題的一種重要變化形式

　　所謂圖形F能嵌入圖形G,其本質(zhì)就是圖形G能覆蓋圖形F.

　　例9試證面積為S、周長(zhǎng)為P的四邊形一定可嵌入一個(gè)半徑為 的圓.

　　分析 四邊形內(nèi)存在到各邊距離不小于 的點(diǎn).

　　證明 如圖45-10,設(shè)四邊形ABCD面積為S,周長(zhǎng)為P.各邊長(zhǎng)分別為a1、a2、a3、a4.現(xiàn)以a1、a2、a3、a4為長(zhǎng), 為寬,向四邊形內(nèi)側(cè)作矩形,則這些矩形總面積是

　　即四個(gè)矩形面積總和等于四邊形面積.由于這四個(gè)矩形有重迭部分,所以四邊形內(nèi)部存在點(diǎn)O沒(méi)有被矩形覆蓋,那么以點(diǎn)O為圓心, 為半徑的圓可嵌入四邊形ABCD中.

　　例10 在一個(gè)半徑等于18的圓中已嵌入16個(gè)半徑為3的圓.證明在余下的部分中還能嵌入9個(gè)半徑為1的圓.

　　證明 首先證明大圓中還能嵌入1個(gè)半徑為1的小圓.先將大圓的半徑收縮為17,而將半徑為3的圓膨脹成半徑為4的圓,此時(shí)大圓面積變?yōu)?/P>

　　π×172=289π.

　　16個(gè)半徑為4的圓的面積是

　　π×42×16=256π.

　　289π-256π=33π.

　　這說(shuō)明大圓中嵌入16個(gè)半徑為3的圓外,還能嵌入半徑為1的一個(gè)小圓,如圖45-11所示.

　　再將大圓的半徑收縮為17,半徑為3的圓的半徑膨脹為4,半徑為1的圓膨脹為2,由于

　　289π-256π-4π=29π,所以大圓中除嵌入16個(gè)半徑為3的圓外,還能嵌入兩個(gè)半徑為1的圓.依此類推,由于289π-256π-4π×8=π>0,

　　故大圓還可嵌入九個(gè)半徑為1的小圓.

　　將圖形收縮、膨脹是解嵌入問(wèn)題一種重要方法.

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