2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競賽講座(17)

競賽講座17

　　-數(shù)學(xué)歸納法

　　基礎(chǔ)知識

　　數(shù)學(xué)歸納法是用于證明與正整數(shù) 有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性的一種嚴(yán)格的推理方法.在數(shù)學(xué)競賽中占有很重要的地位.

　　1.數(shù)學(xué)歸納法的基本形式

　　(1)第一數(shù)學(xué)歸納法

　　設(shè) 是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

　�、佼�(dāng) ( )時， 成立;

　�、诩僭O(shè) 成立，由此推得 時， 也成立，那么，根據(jù)①②對一切正整數(shù) 時， 成立.

　　(2)第二數(shù)學(xué)歸納法

　　設(shè) 是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

　�、佼�(dāng) ( )時， 成立;

　　②假設(shè) 成立，由此推得 時， 也成立，那么，根據(jù)①②對一切正整數(shù) 時， 成立.

　　2.數(shù)學(xué)歸納法的其他形式

　　(1)跳躍數(shù)學(xué)歸納法

　�、佼�(dāng) 時， 成立，

　�、诩僭O(shè) 時 成立，由此推得 時， 也成立，那么，根據(jù)①②對一切正整數(shù) 時， 成立.

　　(2)反向數(shù)學(xué)歸納法

　　設(shè) 是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

　　① 對無限多個正整數(shù) 成立;

　�、诩僭O(shè) 時，命題 成立，則當(dāng) 時命題 也成立，那么根據(jù)①②對一切正整數(shù) 時， 成立.

　　3.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧

　　(1)起點前移：有些命題對一切大于等于1的正整數(shù)正整數(shù) 都成立，但命題本身對 也成立，而且驗證起來比驗證 時容易，因此用驗證 成立代替驗證 ，同理，其他起點也可以前移，只要前移的起點成立且容易驗證就可以.因而為了便于起步，有意前移起點.

　　(2)起點增多：有些命題在由 向 跨進時，需要經(jīng)其他特殊情形作為基礎(chǔ)，此時往往需要補充驗證某些特殊情形，因此需要適當(dāng)增多起點.

　　(3)加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，適當(dāng)可以改變跨度，但注意起點也應(yīng)相應(yīng)增多.

　　(4)選擇合適的假設(shè)方式：歸納假設(shè)為一定要拘泥于“假設(shè) 時命題成立”不可，需要根據(jù)題意采取第一、第二、跳躍、反向數(shù)學(xué)歸納法中的某一形式，靈活選擇使用.

　　(5)變換命題：有些命題在用數(shù)學(xué)歸納證明時，需要引進一個輔助命題幫助證明，或者需要改變命題即將命題一般化或加強命題才能滿足歸納的需要，才能順利進行證明.

　　2011年中考數(shù)學(xué)備考輔導(dǎo)：選擇題精選匯總

　　名師解讀南京2011年中考數(shù)學(xué)命題趨勢