2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競賽講座(17)

　　5.歸納、猜想和證明

　　在數(shù)學(xué)中經(jīng)常通過特例或根據(jù)一部分對象得出的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯誤的，這種不嚴格的推理方法稱為不完全歸納法.不完全歸納法得出的結(jié)論，只能是一種猜想，其正確與否，必須進一步檢驗或證明，經(jīng)常采用數(shù)學(xué)歸納法證明.不完全歸納法是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題極好的方法.

　　例題分析

　　例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：

　　( )

　　例2.已知對任意 ， ， 且 ，求證： .

　　例3.如果正整數(shù) 不是6的倍數(shù)，則 不是7的倍數(shù).

　　例4.設(shè) 都是正數(shù)，證明 .

　　例5.已知函數(shù) 的定義域為 ，對于區(qū)間 內(nèi)的任意兩數(shù) 均有 .求證：對于任意 ，均有

　　.

　　例6試證：對一切大于等于1的自然數(shù) 都有

　　.

　　例7試證：對一切自然數(shù) ( )都有 .

　　例8.證明：任一正方形可以剖分成任意個數(shù)多于5個的正方形.

　　例9.設(shè) ， ， ，求證：對一切 均有 例10.已知 ， ，求證：對一切 ， 都是整數(shù).

　　例11.設(shè) ，是否存在關(guān)于正整數(shù) 的函數(shù) 使等式 對于 的一切自然數(shù)都成立?并證明你的結(jié)論.

　　例12.設(shè)整數(shù)數(shù)列 滿足 ， ， ，且 .證明：任意正整數(shù) ， 是一個整數(shù)的平方.

　　例13.設(shè) 為正數(shù)( )，證明： .

　　例14.已知 ， ( )，求證： .

　　例15.整數(shù)列 ( )滿足 ，且有 .求證： 時， 是奇數(shù).

　　訓(xùn)練題

　　1.證明 時， 能被31整除.

　　2.設(shè) 不小于6的自然數(shù)，證明：可以將一個正三角形分成 個較小的正三角形.

　　3.用數(shù)學(xué)歸納法證明： 4.設(shè) 為自然數(shù)，求證： .

　　5.對于自然數(shù) ( )，求證： .

　　6.已知 ， ，求證：對于一切 ， 是整數(shù).

　　7.設(shè)有 個球分成了許多堆，我們可以任意選甲、乙兩堆來按照以下規(guī)則挪動：若甲戴盆望天的球數(shù) 不小于乙堆的球數(shù) ，則從甲堆拿 個球放堆乙堆，這樣算是挪動一次.證明：可以經(jīng)過有限次挪動把所有的球合并成一堆.

　　8.已知數(shù)列 滿足： ， ， ( )，試證： .

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