2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(25)

-絕對(duì)值與二次根式

　　1. 絕對(duì)值

　　例1 (1986年揚(yáng)州初一競(jìng)賽題)設(shè)T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0

　　解由已知條件可得

　　T=(x-p)+(15-x)+(p+15-x)=30-x.

　　∵當(dāng)p≤x≤15時(shí)，上式中在x取最大值時(shí)T最小;當(dāng)x=15時(shí)，T=30-15=15，故T的最小值是15.

　　例2 若兩數(shù)絕對(duì)值之和等于絕對(duì)值之積，且這兩數(shù)都不等于0.試證這兩個(gè)數(shù)都不在-1與-之間.

　　證 設(shè)兩數(shù)為a、b，則|a|+|b|=|a||b|.

　　∴|b|=|a||b|-|a|=|a|(|b|-1).

　　∵ab≠0，∴|a|>0，|b|>0.

　　∴|b|-1=>0，∴|b|>1.

　　同理可證|a|>1.

　　∴a、b都不在-1與1之間.

　　例3 設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，證明

　　|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.

　　證明 當(dāng)|a|-|b|≤0時(shí)，|a|-|b|≤|a+b|成立.

　　當(dāng)|a|-|b|>0時(shí)，由于

　　(|a|-|b|)2-|a+b|2

　　=(a2+b2-2|ab|)-(a2+b2+2ab)

　　=-2(|ab|-ab)≤0，

　　∴|a|-|b|≤|a+b|.

　　同理可證|a+b|≤|a|+|b|.

　　2. 根式

　　在根式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值和證明的過(guò)程中，常采用配方法、乘方法、比較系數(shù)法、設(shè)參法、公式法等等，現(xiàn)舉例如下：

　　(1) 配方法：將二次根號(hào)內(nèi)的式子配成完全平方式，將三次根號(hào)下的式子配成完全立方式.

　　例4 (1981年寧波初中競(jìng)賽題)設(shè)的整數(shù)部分為x,小數(shù)部分為y,試求的值.

　　解

　　=4-=2+(2-),

　　故x=2,y=2-,

　　∴x+y+

　　=4-+2+=6.

　　例5 化簡(jiǎn)

　　解 原式=

　　=|x+3|+|x-1|-|x-2|.

　　令x+3=0，x-1=0，x-2=0.得x=-3，x=1，x=2，這些點(diǎn)把數(shù)軸劃分成四個(gè)部分：

　　當(dāng)x<-3時(shí)

　　原式=-(x+3)-(x-1)+(x-2)=-x-4;

　　當(dāng)-3≤x<1時(shí)，

　　原式=(x+3)-(x-1)+(x-2)=x+2;

　　當(dāng)1≤x≤2時(shí)，

　　原式=(x+3)+(x-1)+(x-2)=3x;

　　當(dāng)x>2時(shí)，

　　原式=(x+3)+(x-1)-(x-2)=x+4.

　　說(shuō)明：將根號(hào)下含字母的式子化為帶絕對(duì)值的式子來(lái)討論，是解這類(lèi)問(wèn)題的一般技巧.

　　例6 化簡(jiǎn)(a>>0).

　　解

　　原式=

　　=

　　=

　　∵a>>0.

　　∴a2>2b2，

　　∴原式=

　　例7 求證：

　　證明：∵

　　=

　　∴原式=4.

　　(2)乘方法:由于乘方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算,順理成章地可以用乘方的方法去根號(hào)

　　例8 已知求證:

　　(x+y+z)3=27xyz.

　　證明:∵

　　∴

　　兩邊立方

　　x+y+

　　即

　　再邊再立方得(x+y+z)3=27xyz.

　　例9 已知

　　求證

　　證明 設(shè)則

　　即

　　同理可設(shè)則

　　∴A+B=

　　=

　　=

　　由 A+B=a，

　　得

　　∴

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