2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競(jìng)賽講座(34)

　　3.二元一次不定方程

　　我們把形如ax+by=c(ab≠0)的方程叫做二元一次不定方程，在這里我們只研究方程系數(shù)a，b，c為整數(shù)的情況(以下不再作說(shuō)明).關(guān)于二元一次不定方程的整數(shù)解，有下面的簡(jiǎn)單定理.

　　定理1 若a，b的最大公約數(shù)d不能整除c，則方程ax+by=c沒(méi)有整數(shù)解.

　　以下約定記號(hào)(a，b)=1表示整數(shù)a，b互質(zhì).

　　定理2對(duì)于方程ax+by=c，(a，b)=1如果(x0，y0)是方程的一組整數(shù)解，那么

　　(t為整數(shù))

　　是方程的全部整數(shù)解.

　　我們不證明這兩個(gè)定理，定理的證明完全可以仿照下面例題的解答給出.

　　例9x,y是滿足條件2x+3y=a的整數(shù)(a是整數(shù))，證明必存在一整數(shù)b，使x，y能表示為x=-a+3b，y=a-2b的形式.

　　證明：∵2x+3y=a

　　，

　　∵ x，y是整數(shù).

　　∴ 令 ，則y=a-2b.

　　這時(shí)， ，

　　2x+3y=2(3b-a)+3(a-2b)

　　=6b-2a+3a-6b=a

　　這說(shuō)明整數(shù)b能使x=-a+3b，y=a-2b滿足方程2x+3y=a.

　　上面證明中用到的輾轉(zhuǎn)相除法實(shí)際上是解二元一次不定方程常用的方法.

　　例10求37x+41y=1的一組整數(shù)解.

　　解 37x+41y=1 即

　　為整數(shù)，這時(shí)x=+9+1=10，故x=10，y=-9是方程的一組整數(shù)解.

　　說(shuō)明：本題只要求求出一組整數(shù)解，依定理2這個(gè)方程的全部整數(shù)解為：

　　(t為參數(shù))

　　例11 小張和他的朋友小王兩人都有工作，小張每工作八天后休息一天，小王每工作五天后休息一天，小張今天休息，小王明天休息，問(wèn)他們哪天(如果有這一天的話)一同休息?

　　解 出題設(shè)知小張工作周期是9天，小王工作周期是6天.如果他們?cè)谀程煲煌�休息，則可設(shè)小張已工作了x周，小王已工作了y周，據(jù)題意列方程：

　　9x-6y =1.

　　顯然 31(9x-6y)，3 1，所以方程無(wú)整數(shù)解，

　　故小張和小王不可能同一天休息.

　　例12 (中國(guó)古代數(shù)學(xué)問(wèn)題)百錢買百雞，公雞每只值5錢，母雞每只值3錢，雛雞每三只值1錢，問(wèn)公、母、雛雞各買了幾只?

　　解設(shè)買公、母、雛雞的數(shù)目分別為x、y、z只，則

　�、�

　　②

　�、凇�3-①并化簡(jiǎn)得

　　7x+4y=100 ③

　　由于(-1，2)是方程7x+4y=1的一組解，所以(-100，200)是方程③的一組解，因此通解為:

　　∴ t=25，26，27，28，故公、母、雛雞的數(shù)量分別為(0，25，79)，或(4，18，78)或(8，11，81)或(12，4，84).

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