公務員考試《行測》數(shù)學運算之不定方程解析

　　近幾年的公務員行測考試中，對于不定方程的應用比較多，從出題慣性上來說是比較熱門的，但是由于不定方程的求解本身極具科研價值，所以對于不定方程的考察不可能傾向于學術性的考察，但是對于不定方程基本性質的考察卻是出題的熱點。

　　一、不定方程的概念

　　首先我們需要說明一下什么是不定方程，從最基本的數(shù)學知識點出發(fā)，我們知道方程可解，是一個方程組對應一個方程解，但是這里是需要滿足一定的條件，這里的條件就是未知數(shù)的個數(shù)要等于方程的個數(shù)。比如：x=3。這里是一個未知數(shù)對應一個方程，方程只有一個確定的解，即x=3。

　　再進一步延伸可以得到，對于方程組x+y=2，x-y=1。兩個未知數(shù)對應兩個方程，我們都可以得到一個確定的解，而且解只有一個。但是，當未知數(shù)的個數(shù)多余方程的個數(shù)的時候，我們得到的方程就是不定方程。比如：x+y=2，兩個位置數(shù)對應一個方程。對于這個不定方程的解，我們可以得到：x=0，y=2;x=1，y=1;x=2，y=0;……其解得個數(shù)在不限制其他條件的情況下是無限多的，這就是不定方程最基本的性質。

　　二、不定方程的應用情況

　　1、首先是來源于“雞兔同籠”方程組的應用，即二元一次方程。

　　【例1】裝某種產品的盒子有大、小兩種，大盒每盒能裝11個，小盒每盒能裝8個，要把89個產品裝入盒內，要求每個盒子都恰好裝滿，需要大、小盒子各多少個( )?(情況1的普通應用)

　　A. 3，7　　　B. 4，6　　　C. 5，4　　　D. 6，3

　　在這個題目中，我們求解時首先必然是列方程，設大、小盒子的個數(shù)各為x，y。則有，11x+8y=89。有且僅有這樣一個方程，而這一個方程就是不定方程，由不定方程的性質我們可以知道，其解得個數(shù)可以是無限多的，但是由于這里盒子的個數(shù)應該是整數(shù)，故其解應該是比較確定的值，但是依然無法直接求解，故此類不定方程我們采用帶入排除的方式進行解題。答案只有A滿足。

　　【例2】工人甲一分鐘可生產螺絲3個或螺絲帽9個，工人乙一分鐘可生產螺絲2個或螺絲帽7個，現(xiàn)在兩人各花20分鐘，共生產螺絲和螺絲帽134個，問生產的螺絲比螺絲帽多幾個?( )(情況1的復雜應用)

　　A. 34個 B. 32個

　　C. 30個 D. 28個

　　此題當中，我們可以首先假設甲、乙兩人20分鐘生產的都是螺絲，則一共可生產(3+2)×20=100個， 但是螺絲和螺絲帽共生產了134個，相差的34個零件一定是因為做螺絲帽多出來的，而甲做一分鐘螺絲帽可以多生產出9-3=6個零件，乙做一分鐘螺絲帽可以多生產出7-2=5個零件。設甲、乙分別生產了x、y分鐘螺絲帽，則有6x+5y=34，x只能取4，則y=2，所以甲乙共生產螺絲帽4×9+2×7=50個，螺絲134-50=84個，螺絲比螺絲帽多34個。所以選A。

　　這類題目當中，需要我們得到不定方程的整數(shù)解而不是所有解，對于解的限制我們可以得到一個確定的解。

　　2、不定方程類的問題再進一步的推廣，有下面3元一次方程組的應用。

　　【例1】甲買了3支簽字筆、7支圓珠筆和1支鉛筆，共花了32元，乙買了4支同樣的簽字筆、10支圓珠筆和1支鉛筆，共花了43元。如果同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買一支，共用多少錢( )

　　A.10元 B.11元 C.17元 D.21元

　　在這個題目當中，我們可設簽字筆、圓珠筆、鉛筆的錢數(shù)各為x、y、z，列方程可以得到，3x+7y+z=32， 4x+10y+z=43。 我們要求x+y+z=?，但是所列方程組為3個未知數(shù)，2個方程，是一個不定方程組，其解得個數(shù)是無限多的，但是由不定方程組的性質我們可以知道，不定方程組的任意一組解都滿足x+y+z=?這個等式，故我們只需要得到此方程組的一個特解就可以，可以令y=0，則有3x+z=32， 4x+z=43。解得x=11，z=-1，則有x+y+z=10，故該題答案選A。

　　對于不定方程類問題的考察，近年來再公務員考試中趨向于逐漸復雜化，因此對于不定方程的學習和練習要進行系統(tǒng)總結，并強化提高。