2012內蒙古公務員考試：論比例法解相遇追及問題

　　行程問題是公務員行測考試中較難的一類典型題型，也是很多學員難以突破的題型之一。而每年無論是國考、聯考或是其他自主命題省份的省考，都會通過行程問題考察考生對于復雜問題的解決能力，以達到區(qū)分考生水平和層次的目的。在公務員考試中，行程問題主要包括基本公式、相遇追及、流水行船和電梯運動等問題，而相遇追及問題是考察頻率最高、變化最多、入手最難的題型。近年來，相遇追及問題從一次相遇到多次相遇、從直線運動到曲線運動，比例法在解決這類問題中的作用凸顯出來。特別是當題目較抽象、已知條件非常少時，方程法固然可用，但是相當復雜的情況下，能夠利用比例法在短時間內找到解題的突破口，快速解答。主要就相遇追及問題中比例法的解題思路作簡要闡述。

　　比例法，也稱比例份數法，即當題目已知條件較少、難以列出具體式子的抽象情形時，可根據已知量的比例關系設出份數來求解。如在行程問題中，根據行程問題的基本公式： ，當 不變時， 成反比;當 (或 )不變時， 與 (或 )成正比。

　　【例題1】甲、乙兩輛清潔車執(zhí)行東、西城間的公路清掃任務。甲車單獨清掃需要6小時，乙車單獨清掃需要9小時，兩車同時從東、西城相向開出，相遇時甲車比乙車多清掃15千米。問東、西兩城相距多少千米?( )

　　A.60千米 B.75千米

　　C.90千米 D.135千米

　　【答案】B

　　【解析】這是一道典型的相遇追及問題。找出等量關系，列出方程求解是可行的，但會非常復雜。比例法， =6：9=2：3，則 一定時， =3：2。相遇時， 一定， =3：2。令甲走了3份距離，乙走了2份距離，多一份距離為15千米。故全程共5份距離，為75千米。

　　【例題2】甲、乙兩人開車同時從A、B兩地出發(fā)，甲每小時行90千米，乙每小時行60千米，兩人在途中C點相遇。如果甲晚出發(fā)1小時，兩人將在途中D點相遇。且AB兩地中點E到C、D兩點的距離相等。那么A、B兩點間的距離為?( )

　　A.72 B.108

　　C.150 D.180

　　【答案】D

　　【解析】這同樣是一道比較復雜的相遇追及問題。如下圖所示，考慮比例法。當時間一定時， = =90：60=3：2，即設全程共5份距離，C點相遇時，甲走3份距離(AC段)，乙走2份距離(BC段)。又由于E為中點，所以AE=BE=2.5份距離。故CE=ED=0.5份距離。那么在D點相遇時甲走了AD=AE-DE=2.5份距離-0.5份距離=2份距離，根據 =3：2可得，在乙走了1小時以后，乙又走了4/3份距離。故乙先走1小時所走的60千米對應BD-4/3份距離=3份距離-4/3份距離=5/3份距離，解得1份距離=60÷5/3=36千米。全程共5份距離，即AB相距180千米。

　　【點撥】在雙人單次相遇追及問題中，當已知條件較少、難以入手，列方程未知數太多時，可以考慮比例法。特別是題目已知速度或時間的具體量，而其余條件缺乏求解路程時，尤其選擇比例法快速破題。

　　【例題3】甲、乙兩人同時從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲到達B地后立即往回走，回到A地后又立即向B地走去;乙到達A地后立即往回走，回到B地后立即返回A地，如此往復，行走的速度不變。若兩人第一次迎面相遇的地點距A地500米，第二次迎面相遇地點距B地700米，則A、B兩地的距離是( )。

　　A .1300米 B.1120米

　　C.1000米 D.800米

　　【答案】D

　　【解析】這是一道非常抽象的多次相遇追及問題。考慮比例法，速度不變，相遇時時間一定，則 = ，且第一次相遇時的路程之比與第二次相遇時的路程之比相等。如下圖所示，第一次在C點相遇，第二次在D點相遇。設全程AB為X，那么第一次相遇時，甲走了AC=500米，乙走了BC=X-500米;第二次相遇時，甲共走了AB+BD=X+700米，乙共走了2AB-BD=2X-700，列出方程為500：(X-500)=(X+700)：(2X-700)，解得X=800米。

　　【例題4】如下圖所示，AB兩點是圓形體育場直徑的兩端，兩人從AB點同時出發(fā)，沿環(huán)形跑道相向勻速而行，他們在距A點弧形距離80米處的C點第一次相遇，接著又在距B點弧形距離60米處的D點第二次相遇，問這個圓形體育場的周長是多少米?( )

　　A .240 B.300

　　C.360 D.420

　　【答案】C

　　【解析】這同樣是一道非常抽象的多次相遇追及問題�？紤]比例法，兩次相遇時間相同，所以 = ，而整個運動過程中，甲、乙速度不變，故第一次相遇時的路程之比與第二次相遇時的路程之比相等。設半圈長為X，第一次相遇時甲走了弧AC=80米，乙走了弧BC=X-80米;第二次相遇時甲共走了弧ABD=X+60米，乙共走了弧BAD=2X-60米，列出方程得80：(X-80)=(X+60)：(2X-60)，解得X=180米。故整圈體育場的長度為360米。

　　【點撥】在相遇追及問題中，雙人往返的多次相遇問題是非常復雜的。當題目僅僅只有相遇地點與端點距離的已知條件時，可以考慮比例法，N次相遇時兩人走過的路程比例都相等，可快速破題求解。

　　研究發(fā)現根據近年來行程問題的考察趨勢，相遇追及問題仍然是公務員行測考試中的重點測查題型。當相遇追及題型變得更加抽象，或是采取方程法求解非常復雜時，考慮用比例法解答行程問題，往往可以達到事半功倍的效果。