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2015年廣東公務員《行測》均值不等式的巧妙應用

來源:考試吧 2015-03-10 8:52:00 要考試,上考試吧! 公務員萬題庫
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  均值不等式是數(shù)學中的一個重要公式:公式內(nèi)容為Hn ≤Gn ≤An ≤ Qn, 即調(diào)和平均數(shù)不超過幾何平均數(shù),幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù),算術(shù)平均數(shù)不超過平方平均數(shù)。不過在行測考試的數(shù)學運算中,涉及均值不等式的考察僅僅用于幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù),這個知識點一般是結(jié)合幾何問題和利潤問題來考察的。考試吧認為大家在應用過程中不需要死記公式,領(lǐng)會下面兩句話就可以快速解題了:

  (1)兩個數(shù)的和為定值時,這兩個數(shù)越接近,它們的乘積越大。

  (2)兩個數(shù)的乘積為定值時,這兩個數(shù)越接近,它們的和越小。

  規(guī)律中的“兩個數(shù)”可以替換成“多個數(shù)”。比如說當a+b=24的時候。a×b可以取到最大值,此時a×b的最大值為144。a=b=12的時候取到最大值。反過來。當a×b=64時,a+b在a=b=8的時候取到最小值16。

  【例1】現(xiàn)在有一段長為40米的籬笆,要圍成一個矩形菜園,菜園的一邊是足夠長的墻,請問當矩形的長和寬分別人多少的時候,這個矩形菜園的面積最大?

  

\

  答案:D。解析:假設(shè)矩形的長為a,寬為b,根據(jù)題意,有a+2b=40,矩形的面積為a×b,這里要注意不是a=b 的時候a×b取得最大值,而應該把2b看作一個整體,即a=2b時候,a×2b取得最大值,同時a×b也取得了最大值。a=2b=20,所以a=20,b=10,矩形的最大面積為a×b=200,故答案選擇D。

  【例2】某商品單價為60元,每周可以賣出160件,經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),商品價格每上調(diào)一元,銷量每周會下降兩件,那么要讓每周的總收入最大,商品的定價應該多少?此時總收入為多少?

  A 70 , 9800 B 75 , 9750 C 78 , 9720 D 80 , 10200

  答案:A。解析:假設(shè)上調(diào)x元,則單價變?yōu)?0+x,銷量變?yōu)?60-2x,則根據(jù)公式:總收入=單價×銷量=(60+x)×(160-2x),要讓這個式子取到最大值。結(jié)合前面的規(guī)律,兩個數(shù)乘積要最大,如果兩個數(shù)的和為定值,就很容易了。而公式中60+x和160-2x這兩個數(shù)的和不是一個定值。但是可以通過變形,使得變形之后兩個量的和沒有未知數(shù)。(60+x)×(160-2x)=(120+2x)×(160-2x)/2,當右邊的式子取到最大值時。左邊的式子也取得了最大值。當120+2x=160-2x。解得x=10,此時商品的定價為70元,每周的收入達到了最大值。最大收入為70×140=9800元,故選A。

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