2015年廣東公務員《行測》均值不等式的巧妙應用

　　均值不等式是數(shù)學中的一個重要公式：公式內(nèi)容為Hn ≤Gn ≤An ≤ Qn， 即調(diào)和平均數(shù)不超過幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過平方平均數(shù)。不過在行測考試的數(shù)學運算中，涉及均值不等式的考察僅僅用于幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)，這個知識點一般是結(jié)合幾何問題和利潤問題來考察的。考試吧認為大家在應用過程中不需要死記公式，領(lǐng)會下面兩句話就可以快速解題了：

　　(1)兩個數(shù)的和為定值時，這兩個數(shù)越接近，它們的乘積越大。

　　(2)兩個數(shù)的乘積為定值時，這兩個數(shù)越接近，它們的和越小。

　　規(guī)律中的“兩個數(shù)”可以替換成“多個數(shù)”。比如說當a+b=24的時候。a×b可以取到最大值，此時a×b的最大值為144。a=b=12的時候取到最大值。反過來。當a×b=64時，a+b在a=b=8的時候取到最小值16。

　　【例1】現(xiàn)在有一段長為40米的籬笆，要圍成一個矩形菜園，菜園的一邊是足夠長的墻，請問當矩形的長和寬分別人多少的時候，這個矩形菜園的面積最大?

　　答案：D。解析：假設(shè)矩形的長為a，寬為b，根據(jù)題意，有a+2b=40，矩形的面積為a×b，這里要注意不是a=b 的時候a×b取得最大值，而應該把2b看作一個整體，即a=2b時候，a×2b取得最大值，同時a×b也取得了最大值。a=2b=20，所以a=20，b=10，矩形的最大面積為a×b=200，故答案選擇D。

　　【例2】某商品單價為60元，每周可以賣出160件，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，商品價格每上調(diào)一元，銷量每周會下降兩件，那么要讓每周的總收入最大，商品的定價應該多少?此時總收入為多少?

　　A 70 , 9800 B 75 , 9750 C 78 , 9720 D 80 , 10200

　　答案：A。解析：假設(shè)上調(diào)x元，則單價變?yōu)?0+x，銷量變?yōu)?60-2x，則根據(jù)公式：總收入=單價×銷量=(60+x)×(160-2x)，要讓這個式子取到最大值。結(jié)合前面的規(guī)律，兩個數(shù)乘積要最大，如果兩個數(shù)的和為定值，就很容易了。而公式中60+x和160-2x這兩個數(shù)的和不是一個定值。但是可以通過變形，使得變形之后兩個量的和沒有未知數(shù)。(60+x)×(160-2x)=(120+2x)×(160-2x)/2，當右邊的式子取到最大值時。左邊的式子也取得了最大值。當120+2x=160-2x。解得x=10，此時商品的定價為70元，每周的收入達到了最大值。最大收入為70×140=9800元，故選A。

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