2017年事業(yè)單位行測知識點：第三章 數(shù)學運算

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　　第一節(jié)數(shù)的整除特性

　　兩個整數(shù)a、b，如果a÷b，商為整數(shù)，且余數(shù)為零，我們就說a能被b整除(或者說b能整除a)，稱a是b的倍數(shù)(或者說b是a的約數(shù))。

　　一、數(shù)的整除判定及性質(zhì)

　　要判斷一個數(shù)是否能被其他數(shù)整除，根據(jù)除數(shù)的不同，可通過查看被除數(shù)的末位數(shù)、數(shù)字和或數(shù)字差等方式來確定。

　　(一)看被除數(shù)末幾位數(shù)

　　(1)只看被除數(shù)的個位，判斷一個數(shù)能否被2、5整除時只看其個位數(shù)即可。

　　(2)看被除數(shù)末兩位，判斷一個數(shù)能否被4、25整除時看其末兩位數(shù)即可。

　　(3)看被除數(shù)末三位，判斷一個數(shù)能否被8整除時，看其末三位數(shù)即可。

　　(二)看被除數(shù)的各位數(shù)字和

　�、偃绻麛�(shù)a能被b整除，數(shù)b能被C整除，則a能被c整除。

　　②如果數(shù)a能被c整除，數(shù)b能被c整除，則a+b、a-b均能被C整除。

　�、廴绻麛�(shù)a能被c整除，m為任意整數(shù)，則a+m也能被c整除。

　�、苋绻麛�(shù)a能被b整除，同時能被c整除，且b和C互質(zhì).則數(shù)a能被b.c整除。

　　例如：72能被9整除，9能被3整除，則72能被3整除.

　　56能被8整除，16能被8整除，則56+16=

　　72、56—16=40均能被8整除。

　　39能被13整除.所以39×15也能被13

　　整除。

　　162自蜮。警除，也能被9整除(1+6+2：9)，

　　且2、9互質(zhì)，所以162能被2x9=18整除。

　　二、完全平方數(shù)

　　如果一個數(shù)是另一個數(shù)的平方，那么我們稱這個數(shù)為完全平方數(shù)，也叫做平方數(shù)。常見的完全平方數(shù)有0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400。第二節(jié)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

　　最大公約數(shù)：如果c是。的約數(shù)，c也是b的約數(shù)，那么我們稱c是n和b的公約數(shù)。一般說來，兩個數(shù)的公約數(shù)不止一個.我們把其中最大的一個公約數(shù).稱為這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。多個數(shù)之間的公約數(shù)和最大公約數(shù)也可以用類似方法定義。

　　互質(zhì)：如果兩個數(shù)最大公約數(shù)為1，則稱這兩個數(shù)互質(zhì)。

　　最小公倍數(shù)：如果c是a的倍數(shù)，c也是b的倍數(shù)，那么我們稱c是a和b的公倍數(shù)。兩個數(shù)的公倍數(shù)有很多，我們把其中最小的一個公倍數(shù)，稱為這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。多個數(shù)之間的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)也可以用類似的方法定義。

　　求最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)主要有以下兩種方法：分解質(zhì)因數(shù)法、短除法。

　　一、分解質(zhì)因數(shù)法

　　考生可采用分解質(zhì)因數(shù)的方法求兩個整數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)，下面以兩個數(shù)為例進行講解.多個整數(shù)的情況可以類推。

　　分解質(zhì)因數(shù)：每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)。

　　最大公約數(shù)是兩個數(shù)所有公有質(zhì)因數(shù)的乘積。24、60的公有質(zhì)因數(shù)是2、2、3.所以24和60的最大公約數(shù)是2x2x3=12。

　　最小公倍數(shù)是兩個數(shù)所有公有質(zhì)因數(shù)和其各自獨有質(zhì)因數(shù)的乘積。24、60的公有質(zhì)因數(shù)是2、2、3，24的獨有質(zhì)因數(shù)是2，60的獨有質(zhì)因數(shù)是5，所以24、60的最小公倍數(shù)是2×2×3×2×5=120。

　　二、短除法

　　短除符號就是除號倒過來，在除法中寫除數(shù)的地方寫兩個數(shù)共有的質(zhì)因數(shù)，然后寫下兩個數(shù)被公有質(zhì)因數(shù)整除的商，之后再除，以此類推，直到結(jié)果互質(zhì)為止。

　　所以24、36的最大公約數(shù)為2×2×3=12;(左側(cè)3個數(shù)之積)

　　最小公倍數(shù)為2×2×3×2×3=72。(左側(cè)3個數(shù)與下邊2個數(shù)之積)

　　三個數(shù)的情況與兩個數(shù)的情況有所區(qū)別，要仔細體會。以下分別舉例說明求12、30、150的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù).

　　第三節(jié) 奇偶性與質(zhì)合性

　　在考試中.數(shù)的奇偶性與質(zhì)合性都是在具體情境中結(jié)合其他知識要點一起考查的，很少作為獨立的知識點來考核。

　　奇數(shù)：不能被2整除的整數(shù);

　　偶數(shù)：能被2整除的整數(shù)，零也是偶數(shù)。奇偶性主要指以下這些性質(zhì)：

　�、倨鏀�(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)-奇數(shù)=偶數(shù)②偶數(shù)十偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)③奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)--偶數(shù)=奇數(shù)④奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)

　�、萜鏀�(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)⑥偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)總之：加法/減法——同奇同偶則為偶，一奇一偶則為奇;

　　乘法——乘數(shù)有偶則為偶，乘數(shù)無偶則為奇。質(zhì)數(shù)：只能被l和其本身整除的數(shù)。

　　17只能被1和17整除，則17是質(zhì)數(shù)。

　　合數(shù)：除了1和其本身，還可以被其他整數(shù)整除的數(shù)。

　　6除了能被1和6整除以外，還能被2和3整除，則6是合數(shù)。質(zhì)合性需要注意以下幾點：

　　①1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，2是唯一的一個偶質(zhì)數(shù);②20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19。

　　【例題1】一次數(shù)學考試共有20道題，規(guī)定：答對一題得2分，答錯一題扣1分，未答的題不計分。考試結(jié)束后，小明共得23分，他想知道自己做錯了幾道題，但只記得未答的題的數(shù)目是個偶數(shù)。請你幫助小明計算一下,他答錯了多少道題?

　　A.3

　　B.4

　　C.5

　　D.6

　　解析：此題答案為A。小明的得分=2×答對題數(shù)一答錯題數(shù)，因為2×答對題數(shù)肯定為偶數(shù)，得分為奇數(shù).所以答錯的題數(shù)為奇數(shù)，排除B、D。

　　假如答錯3道題，則答對(23+3)÷2=13道題，未答的題是20-3-13=4道，符合條件，選擇A。

　　假如答錯5道題。則答對(23+5)÷2=14道題，未答的題是20-5-14=1道，與題干未答的題的數(shù)目是偶數(shù)矛盾，排除C。

　　【例題2】a,b、c都是質(zhì)數(shù)，c是一位數(shù)，且axb+c=1993，那么a+b+c的值是多少?

　　A.171

　　B.183

　　C.184

　　D.194

　　解析：此題答案為D。a×b+c=1993，1993為奇數(shù)，則a×b為奇數(shù)、c為偶數(shù)或a×b為偶數(shù)、c為奇數(shù)。

　　(1)a×b為奇數(shù)、c為偶數(shù)

　　由a、b,C都是質(zhì)數(shù)，可知c=2，a×b=1991=11×181，a+b+c=2+11+181=194，選擇D。(2)a×b為偶數(shù)、c為奇數(shù)

　　axb為偶數(shù).則a、b中至少有一個偶數(shù)，由a、b、c都是質(zhì)數(shù)，可知a.b中有一個為2，不妨設(shè)b=2，c是一位數(shù).則。的值應(yīng)該在900以上，與選項完全不符。

　　綜上所述.葉a+b+c的值為194。

　　第四節(jié)同余與剩余

　　一、余數(shù)

　　在整數(shù)的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時，就產(chǎn)生余數(shù)。被除數(shù)(b)÷除數(shù)(b)=商(c)……余數(shù)(d)，其中a、c均為整數(shù)，b、d為自然數(shù)。

　　其中。余數(shù)總是小于除數(shù).即0≤d

　　二、同余

　　同余：兩個整數(shù)a、b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a、b對于m同余。例：23除以5的余數(shù)是3，18除以5的余數(shù)也是3，則稱23與18對于5同余。同余的性質(zhì)：對于同一個除數(shù)m，兩個數(shù)和的余數(shù)與余數(shù)的和同余，兩個數(shù)差的余數(shù)與余數(shù)的差

　　同余，兩個數(shù)積的余數(shù)與余數(shù)的積同余。

　　例：l5除以7余數(shù)是1.18除以7余數(shù)是4

　　15+18=33，則33除以7的余數(shù)與1+4：5除以7的余數(shù)相同18-15=3，則3除以7的余數(shù)與4-1=3除以7的余數(shù)相同15×18=270，則270除以7的余數(shù)與1x4=4除以7的余數(shù)相同

　　三、剩余問題

　　剩余問題主要有以下三種情況：

　�、僖粋�數(shù)除以4余2、除以5余2、除以6余2，這個數(shù)可表示為……：

　�、谝粋�數(shù)除以4余3、除以5余2、除以6余1，這個數(shù)可表示為……：

　�、垡粋�數(shù)除以4余1、除以5余2、除以6余3，這個數(shù)可表示為……：

　　對于上述三種問題，解題思路是先找出一個滿足條件的數(shù)，再加上幾個除數(shù)的最小公倍數(shù)的12、3、…、n倍，即為所求。

　�、僦�，余數(shù)相同，2滿足條件，加上4、5、6的最小公倍數(shù)，也滿足條件，所以該數(shù)表示為60n+2：

　　②中，4+3=5+2=6+1=7，余數(shù)與除數(shù)之和相同，即和同。7滿足條件，加上4、5、6的最小公倍數(shù).也滿足條件，所以該數(shù)表示為60n+7：

　�、壑校�1-4=2-5=3-6=-3，余數(shù)與除數(shù)之差相同，即差同。-3滿足條件，在此基礎(chǔ)上加上4、5、6的是小公倍數(shù)，也滿足條件，所以該數(shù)表示為60n-3。

　　所以有：余同加余，和同加和，差同減差。最小公倍數(shù)做周期。

　　【例題1】16×41×164除以7的余數(shù)為(　　)。

　　A.1

　　B.2

　　C.3

　　D.4

　　解析：此題答案為A。因為16+7=2……2，41+7=5……6，164+7：23……3.所以16×41×164除以7的余數(shù)與2×6×3除以7的余數(shù)相同。2×6×3÷7=36÷7,余數(shù)為1。

　　【例題21[事業(yè)單位考試真題)有一堆梨，兩個兩個拿最后剩一個，三個三個拿最后剩兩個.四個四個拿最后又多三個，問這堆梨至少有多少個?

　　A.10

　　B.11

　　C.12

　　D.13

　　解析：此題答案為B。“差同減差”。由題意可知，梨的個數(shù)加1就能被2、3、4整除.則它的最小值就是2、3、4的最小公倍數(shù)減1。即12-1=11。

　　【例題3】一個三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有(　　)。A.5個B.6個C.7個D.8個

　　解析：此題答案為A�！俺�5余2，除以4余3”，除數(shù)和余數(shù)相加(5+2和4+3)都為7，即和同加和.以最小公倍數(shù)周期。則表示為4x5n+7=20n+7，所以這個數(shù)除以20余7。再看另一條件“除9余7”�？梢娪鄶�(shù)相同.再由“余同加余，最小公倍數(shù)為周期”可得20×9n+7=180n+7。凡為自然數(shù)，要使7+180n為三位數(shù)，則n=1、2、3、4、5，滿足條件的三位數(shù)有5個。

　　點撥

　　本題較為簡單，可直接看后兩個條件，很容易看出7是滿足條件的最小的自然數(shù)，而7正好也滿足第一個條件。4、5、9的最小公倍數(shù)為180，因此滿足條件的三位數(shù)形式為7+180n。

　　第五節(jié)尾數(shù)法

　　尾數(shù)是一個數(shù)的個位數(shù)字，也就是該數(shù)除以10的余數(shù).尾數(shù)法本質(zhì)上是利用同余的性質(zhì)：兩個數(shù)的尾數(shù)之和等于和的尾數(shù)，兩個數(shù)的尾數(shù)之差等于差的尾數(shù)，兩個數(shù)的尾數(shù)之積等于積的尾數(shù)。

　　一、尾數(shù)法

　　尾數(shù)法是指在不直接計算算式各項值的情況下。只計算結(jié)果的尾數(shù)，以在選項中確定答案的方法。一般四個選項中數(shù)的尾數(shù)各不相同時，可優(yōu)先考慮尾數(shù)法。算式中如果出現(xiàn)了除法，盡量不要使用尾數(shù)法。

　　二、自然數(shù)的n次方的尾數(shù)變化規(guī)律

　　尾數(shù)法通常與自然數(shù)的n次方結(jié)合使用.一個自然數(shù)n次方尾數(shù)等于它尾數(shù)n次方的尾數(shù)，因此我們只需要考慮0～9的n次方尾數(shù)變化規(guī)律即可。

　　0～9的以次方尾數(shù)變化規(guī)律：

　　0、1、5、6的n次方尾數(shù)始終是其本身

　　2n的尾數(shù)以“2、4、8、6”循環(huán)變化，循環(huán)周期為4

　　3n的尾數(shù)以“3、9、7、1”循環(huán)變化，循環(huán)周期為4

　　4n的尾數(shù)以“4、6”循環(huán)變化，循環(huán)周期為2

　　7n的尾數(shù)以“7、9、3、1”循環(huán)變化，循環(huán)周期為4

　　8n的尾數(shù)以“8、4、2、6”循環(huán)變化，循環(huán)周期為4

　　9n的尾數(shù)以“9、1”循環(huán)變化。循環(huán)周期為2

　　因此判斷n次方的尾數(shù)時，用n÷4，余數(shù)為a，則n次方的尾數(shù)與a次方的尾數(shù)相同(余數(shù)為0時，與4次方的尾數(shù)相同)。例如721,21+4，余數(shù)為1，則721的尾數(shù)與71的尾數(shù)相同，為7。

　　【例題1】72010+82012的個位數(shù)是幾?

　　A.3

　　B.5

　　C.7

　　D.9

　　解析：此題答案為B。7的n次方尾數(shù)變化為7、9、3、1，變化周期為4，2010除以4余2，所以72010的尾數(shù)是9：8的n次方尾數(shù)變化為8、4、2、6，變化周期為4，2012能被4整除，所以82012的尾數(shù)是6。9+6=15.尾數(shù)為5.選B。

　　【例題2】2362+768-1482的值為(　　)。

　　A.33462

　　B.33568

　　C.34560

　　D.34664

　　解析：此題答案為C。直接計算，計算量較大。由于選項中各項尾數(shù)均不相同�？梢圆捎梦矓�(shù)法。2362的尾數(shù)為6，1482的尾數(shù)為4，6+8-4=10，所以結(jié)果的尾數(shù)為0。選擇C。

　　【例題3】8，88，888，8888，……，如果把前88個數(shù)相加，那么它們的和的末三位數(shù)是多少?

　　A.574

　　B.484

　　C.464

　　D.454

　　解析：此題答案為C。題目中問末三位數(shù)是多少，并且發(fā)現(xiàn)各個選項的末兩位都不同.只要運用尾數(shù)法對末兩位進行運算即可。8+88x87=7664，末兩位數(shù)為64.所以選C。

　　點撥

　　每個數(shù)都是8的倍數(shù)，則所有數(shù)字的和能被8整除,則它們的和的末三位數(shù)能被8整除。選

　　項中只有464滿足，答案為C。　第六節(jié)代入排除法

　　定義：代入排除法是指從選項人手，代入某個選項后，如果不符合已知條件。或者推出矛盾.則可排除此選項的方法。數(shù)學運算部分全部都是選擇題。而代入排除法是應(yīng)對選擇題的有效方法。

　　適用范圍：代入排除法廣泛運用于多位數(shù)問題、不定方程問題、剩余問題、年齡問題、復(fù)雜行程問題、和差倍比問題等。

　　代入排除法包括直接代入排除與選擇性代入排除兩類。

　　一、直接代入排除

　　直接代入，就是把選項一個一個代入驗證.直至得到符合題意的選項為止。代入四個選項時首先要看題干的要求，再分以下兩種情況：

　　①如果題目是問最大或最小，求最大就從最大的項開始試，求最小就從最小的項開始試。

　�、谌绻}目只問哪個選項滿足題意，可從數(shù)值居中的選項開始代入嘗試.如果滿足條件就得出了答案;如果不滿足，再根據(jù)代入項與正確答案的差距選擇代入更大或更小的選項接著驗證。

　　二、選擇性代入排除

　　選擇性代入，是根據(jù)數(shù)的特性(奇偶性、整除特性、尾數(shù)特性、余數(shù)特性等)先篩選，再代入排除的方法。

　　【例題1】一個小于80的自然數(shù)與3的和是5的倍數(shù)，與3的差是6的倍數(shù)，這個自然數(shù)最大是多少?

　　A.32

　　B.47

　　C.57

　　D.72

　　解析：此題答案為C。此題可以采用直接代入法來得到答案。題目要求滿足條件的最大的數(shù).可從選項中最大的數(shù)字開始代入。

　　代入D項，72-3=69，不是6的倍數(shù)，不符合，排除;

　　代入C項，57+3=60，是5的倍數(shù);57—3=54，是6的倍數(shù).符合條件。

　　點撥

　　本題也可利用前一節(jié)的數(shù)的整除特性考慮，與3的差是6的倍數(shù)，說明該數(shù)是能被3整除的奇數(shù)，直接鎖定C項。

　　【例題2】1999年，一個青年說：“今年我的生日已過了，我現(xiàn)在的年齡正好是我出生的年份的四個數(shù)之和。”這個青年是哪年出生的?

　　A.1975

　　B.1976

　　C.1977

　　D.1978

　　解析：此題答案為B。本題是典型的多位數(shù)問題，可直接代入排除。代入A項，青年1975年出生.則1999年24歲，1+9+7+5=22，不符合，排除;代入B項，青年1976年出生，則1999年23歲.1+9+7+6=23.符合條件。

　　【例題3】(事業(yè)單位考試賓題)某商品編號是一個三位數(shù)，現(xiàn)有五個三位數(shù)：126、918、574、320、694，其中每一個數(shù)與商品編號恰好都有一個數(shù)字在同一個數(shù)位上。這個商品編號是(　　)。

　　A.162

　　B.9.24

　　C.530

　　D.328.

　　解析：此題答案為B。本題可直接采用排除法。A項.題干中給出的五個三位數(shù)中的個位數(shù)均不是2，不符合題意，排除A;C項，題干中給出的五個三位數(shù)中的十位數(shù)字均不是3，不符合題意。排除C：D項，題干要求每一個數(shù)與商品編號恰好都有一個數(shù)字在同一個數(shù)位上，在給出的五個三位數(shù)中.320與D項328有兩個數(shù)字相同，不符合題意，排除D。故選擇B。

　　【例題4】兩個數(shù)的差是2345，兩數(shù)相除的商是8，這兩個數(shù)之和為(　　)。

　　A.2353

　　B.2896

　　C.3015

　　D.3456

　　第八節(jié)方程法

　　定義：方程法是指將題目中未知的數(shù)用變量(如x，y)表示，根據(jù)題目中所含的等量關(guān)系，列出含有未知數(shù)的等式(組)，通過求解未知數(shù)的數(shù)值，來解應(yīng)用題的方法。因其為正向思維，思路簡單，故不需要復(fù)雜的分析過程。

　　適用范圍：方程法應(yīng)用較為廣泛，數(shù)學運算絕大部分題目，如行程問題、工程問題、盈虧問題、和差倍比問題、濃度問題、利潤問題、年齡問題等均可以通過方程法來求解。主要步驟：設(shè)未知量—找等量關(guān)系—列方程(組)—解方程(組)

　　一、設(shè)未知數(shù)的技巧

　　方程法雖然思維比較簡單。但是計算量較大，也比較費時。對此�？忌梢酝ㄟ^優(yōu)化未知數(shù)的設(shè)法來提高解題速度。設(shè)未知數(shù)的原則：①設(shè)的未知數(shù)要便于理解，方便列方程;②盡量減少未知數(shù)的個數(shù)，方便解方程。

　　具體而言，可以利用比例關(guān)系、取中間量等技巧優(yōu)化未知數(shù)，達到便于列方程和解方程的目的。

　　(一)利用比例關(guān)系設(shè)未知數(shù)

　　可以有效避免分數(shù)的出現(xiàn).大大減少計算量。(二)取中間量設(shè)未知數(shù)

　　當題干中有兩個或更多個未知數(shù)時，可根據(jù)各未知數(shù)之間的關(guān)系，采用取中間量的方法，設(shè)一個或少數(shù)幾個未知數(shù)來求解。這就減少了未知數(shù)的個數(shù)，在一定程度上大大減少了計算量。

　　(三)設(shè)而不求

　　當題中數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，直接找出各個量之間的聯(lián)系有困難.可考慮設(shè)輔助未知數(shù)，實現(xiàn)由未知向已知的轉(zhuǎn)化。在解題過程中可以巧妙地將其消去，而并不需要求這些未知數(shù)。

　　【例題1】已知甲、乙兩種產(chǎn)品原價之和為100元，因市場變化，甲產(chǎn)品8折促銷，乙產(chǎn)品提價10%，調(diào)價后，甲、乙兩種產(chǎn)品的標價之和比原標價之和提高了4%，則乙產(chǎn)品的原標價為多少元?

　　A.20

　　B.40

　　C.80

　　D.93

　　解析：此題答案為C。

　　設(shè)未知數(shù)：求的是乙產(chǎn)品的原標價，可設(shè)其為x元，則甲產(chǎn)品的原標價為(100-x)元。找等量關(guān)系：調(diào)價后兩種產(chǎn)品的標價之和比原標價之和提高了4%。

　　列方程：0.8×(100-x)+(1+10%)x=100×(1+4%)。解方程：x=80。

　　點撥…

　　本題其實也可用代入排除法來解，甲產(chǎn)品8折促銷，乙產(chǎn)品提價10%，最終結(jié)果導致二者總標價提高了4%，說明乙產(chǎn)品對總價格影響較大，即乙產(chǎn)品價格大于甲產(chǎn)品，然而甲、乙兩產(chǎn)品價格之和為100，則乙產(chǎn)品原標價大于50，排除A、B項。代入C項。發(fā)現(xiàn)正好滿足題意，因此選C。

　　二、解方程組的技巧解方程組主要采用消元的方法，將多元方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解。一般來說，消元通常是“求什么保留什么”，即消元時，盡量保留題目要求的未知量。此外，還可以通過整體法、換元法來解方程，以提高解方程組的效率。

　　(一)整體法

　　整體法是指不單獨考慮每個未知數(shù)的情況，將式子整體進行各種運算的方法，通常是進行整體加減。

　　(二)換元法

　　可根據(jù)題意，將復(fù)雜的未知數(shù)換元為簡單的未知數(shù)，從而將不方便求解的方程組轉(zhuǎn)化為簡單的方程組。

　　【例題5】某年級有4個班，不算甲班其余三個班的總?cè)藬?shù)是131人;不算丁班其余三個班的總?cè)藬?shù)是l34人;乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少l人，問這四個班共有多少人?

　　A.177

　　B.176

　　C.266

　　D.265

　　三、利用數(shù)的特性求解不定方程

　　所謂不定方程，是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)，且未知數(shù)受到某些限制(如要求是有理數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等等)的方程或方程組。

　　“在解決數(shù)學運算問題的過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)不定方程的求解。尤其是二元一次不定方程.其通用形式為ax+by=c，其中a,b、c為已知整數(shù)，x、y為所求自然數(shù)。在解這類方程時，我們需要利用整數(shù)的奇偶性、整除性等多種方法來得到答案。

　　【例題7】某地勞動部門租用甲、乙兩個教室開展農(nóng)村實用人才培訓。兩教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人.乙教室每排可坐9人。兩教室當月共舉辦該培訓27次，每次培訓均座無虛席，當月共培訓1290人次。問甲教室當月共舉辦了多少次這項培訓?

　　A.8

　　B.10

　　C.12

　　D.15

　　【例題8】有271位游客欲乘大、小兩種客車旅游，已知大客車有37個座位，小客車有20個座位。為保證每位游客均有座位，且車上沒有空座位，則需要大客車的輛數(shù)是(　　)。

　　A.1輛

　　B.3輛

　　C.2輛

　　D.4輛

　　第九節(jié)圖解法

　　定義：圖解法是指利用圖形來解決數(shù)學運算的方法。數(shù)學運算的本質(zhì)是通過尋找數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系來解決實際問題.整個過程比較抽象。如果我們能夠利用圖形這種工具，將復(fù)雜的數(shù)字之間的關(guān)系用圖形形象地表示出來,就能夠更快更準地解決問題。

　　適用范圍：一般說來，圖解法適用于絕大部分題型，尤其是在行程問題、年齡問題、容斥問題等強調(diào)分析過程的題型中運用得很廣。圖解法簡單直觀，能夠清楚表現(xiàn)出問題的過程變化，但是容易出錯，在畫圖形的時候一定要保證圖形和數(shù)字保持一一對應(yīng)的關(guān)系。

　　一、線段圖

　　線段圖即是用線段來表示數(shù)字和數(shù)量關(guān)系的方法。

　　線段圖在行程問題中非常有效。當運動過程非常復(fù)雜的時候，強烈推薦使用線段圖，因為它能夠幫助考生快速理清各物體的運動過程.從而找到物體速度或者路程之間的關(guān)系。

　　【例題1】甲從某地出發(fā)勻速前進，一段時間后，乙從同一地點以同樣的速度同向前進，在K時刻乙距起點30米：他們繼續(xù)前進，當乙走到甲在K時刻的位置時，甲離起點108米。此時乙離起點(　　)。

　　A.39米

　　B.69米

　　C.78米

　　D.138米

　　解析：此題答案為B。在解行程問題時，通常先畫出線段圖，這樣可以直觀清晰地看到狀態(tài)變化的過程和各個量之間的關(guān)系.幫助我們準確求解。

　　二、表格

　　表格也是圖形的一種.利用表格可以將多次操作問題和還原問題中的復(fù)雜過程一一表現(xiàn)出來。同時.我們也可以用表格來理清數(shù)量關(guān)系，幫助列方程。

　　【例題3】(事業(yè)單位考試真題)某單位有60人，他們在工作時著裝白色或粉色上衣，黑色或藍色褲子，其中有12人穿白上衣藍褲子.有34人穿黑褲子，29人穿粉上衣，那么穿粉上衣黑褲子的有多少人?

　　A.15

　　B.16

　　C.17

　　D.18

　　解析：此題答案為A。常規(guī)思路：60名員工，其中34人穿黑褲子，則有60-34=26人穿藍色褲子;12人穿白上衣藍褲子，則有26—12=14人穿粉上衣藍褲子;29人穿粉上衣，所以有29-14=15人穿粉上衣黑褲子。

　　思路比較清晰時�？梢砸徊揭徊降挠嬎�，但是數(shù)量關(guān)系更多的話，比如涉及三種顏色的上衣和褲子時，用這種推理方式很容易出錯，現(xiàn)在我們來看看使用表格如何操作。

　　首先，畫出表格，橫坐標為上衣的顏色，縱坐標為褲子的顏色。再將題目中已知條件填進表格里，然后用表格直接做加減法。

　　三、網(wǎng)狀圖/樹狀圖

　　網(wǎng)狀圖或樹狀圖一般用來解決過程或者數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的題型。比如排列組合問題、推理問題或者時間安排類的對策分析問題。

　　【例題4】A、B、C、D、E五位同學進行象棋單循環(huán)比賽，已知A、B、C、D已經(jīng)賽過的盤數(shù)依次為4、3、2、1盤，此時，E賽了(　　)盤。

　　A.2

　　B.3

　　C.4

　　D.5

　　第十節(jié)分合法

　　定義：分合法是指利用分與合兩種不同的思維解答數(shù)學運算的方法。分合法常用的兩種思路為分類討論和整體法。所謂“分”，就是將一個問題拆分成若干個小問題，然后從局部來考慮每個小問題;所謂“合”，就是把若干問題合在一起，從整體上思考這些問題。簡而言之，“分”就是局部考慮，是拆分;“合”是整體考慮，是整合。二者最終的目的都是為了提高處理問題的效率。適用范圍：分合法一般適用于排列組合與概率問題、解方程等。

　　一、分類討論分類討論，是指當不能對問題所給的對象進行統(tǒng)一研究時，需要對研究對象按某個標準進行分類。逐類研究，最后將結(jié)論匯總得解的方法。分類討論是數(shù)學中獨有的一種思想，它與平時歸納總結(jié)的邏輯思維正好相反。利用分類討論能將某些復(fù)雜的問題分解成若干個簡單的問題，然后各個擊破，使問題變得易于解決。

　　【例題1】編一本書的書頁，用了270個數(shù)字(重復(fù)的也算，如頁碼115用了2個1和1個5，共3

　　個數(shù)字)，問這本書一共有多少頁?

　　A.117

　　B.126

　　C.127

　　D.189

　　分類討論與加法原理經(jīng)常一起使用.一般是多種情況分類討論以后，再利用加法原理求出總的情況數(shù)。我們在排列組合與概率問題中具體介紹。

　　二、整體法

　　整體法與分類討論正好相反，它強調(diào)從整體上來把握變化，而不是拘泥于局部的處理。整體法有兩種表現(xiàn)形式：

　　1.將某一部分看成一個整體，在問題中總是一起考慮，而不單獨求解;

　　2.不關(guān)心局部關(guān)系，只關(guān)心問題的整體情況，直接根據(jù)整體情況來考慮關(guān)系。這種形式經(jīng)常用于平均數(shù)問題。

　　【例題3】(事業(yè)單位考試真題)李明在休假期間觀察了N天天氣，情況如下：①下7天雨，在上午或下午;②當下午下雨時，上午是晴天;③一共有5個下午是晴天;④一共有6個上午是晴天。問N等于多少?

　　A.7

　　B.8

　　C.9

　　D.10

　　解析：此題答案為c。根據(jù)題干情況①已知下雨的天數(shù)，再求出不下雨的天數(shù)，就可以求出N的值。但如果直接將所有的天數(shù)看成整體，能夠更快得到答案。

　　由情況②可知，下雨的時間都是半天，所以共有7+2=3.5天是全天下雨;由情況③④可知，共有(5+6)÷2=5.5個全天是晴天。故觀察的總天數(shù)N=3.5+5.5=9天。

　　【例題4】商店購進甲、乙、丙三種不同的糖，所用費用相等，已知甲、乙、丙三種糖每千克費用分別為4.4元、6元和6.6元。如果把這三種糖混在一起成為什錦糖，那么這種什錦糖每千克成本多少元?

　　A.4.8

　　B.5

　　C.5.3

　　D.5.5

　　解析：此題答案為D。本題從局部考慮很難考慮，又由于平均成本=總成本÷總千克數(shù)，因此我們需

　　要從整體上找到總成本和總千克數(shù)即可。

　　由于三種糖所花費用相等，為了所算千克數(shù)為整數(shù)，不妨設(shè)每種糖都買了66元，則總成本為66×3：198元。甲糖有66+4.4=15千克，乙糖有66+6=11千克，丙糖有66+6.6=10千克，因此總千克數(shù)為15+11+10=36千克。則這種什錦糖的平均成本為198+36=5.5元。　　第十一節(jié)極端法

　　定義：極端法是指通過考慮問題的極端狀態(tài)，探求解題方向或轉(zhuǎn)化途徑的一種常用方法。在數(shù)學運算中運用極端法的情況主要有分析極端狀態(tài)和考慮極限圖形與極限位置兩種情況。

　　分析極限狀態(tài)是指先分析并找出問題的極限狀態(tài).再與題干條件相比較.作出相應(yīng)調(diào)整.得出所求問題的解。數(shù)學運算中的雞兔同籠問題以及出現(xiàn)“至多”“至少”等字樣的題.均可通過分析問題的極端狀態(tài)來求解。

　　考慮極限圖形主要是利用一些幾何知識。例如.對于空間幾何體，當表面積相同時。越趨近于球體的體積越大;同理，當體積相同時，越趨近于球體的表面積越小。

　　適用范圍：極端法一般適用于雞兔同籠問題、對策分析類問題等。

　　【例題1】(事業(yè)單位考試真題】足球比賽積分規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分。某足球隊打了16場。負8場，共得16分，那么這個球隊勝了幾場?

　　A.3

　　B.4

　　C.5

　　D.6

　　解析：此題答案為B。雞兔同籠問題，采用極端法分析。依題意，勝和平共l6-8=8場。此時存在兩個極限狀態(tài)，(1)8場全勝;(2)8場全平。任選一個狀態(tài)，再通過比較與實際的差別來求解。

　　假設(shè)8場全平，那么應(yīng)得分數(shù)為8×1=8分，比實際分數(shù)少l6—8=8分。每勝一場就可多得3-1=2分，所以這個球隊勝了8+2=4場。

　　【例題2】某單位有宿舍11間，可以住67人，已知每間小宿舍住5人，中宿舍住7人，大宿舍住8人，則小宿舍間數(shù)是(　　)。

　　A.6

　　B.9

　　C.8

　　D.7

　　解析：此題答案為A。如果設(shè)未知數(shù)，分析不定方程過程會比較繁瑣，但如果采用極端考慮法，則容易得多。

　　假設(shè)全部為小宿舍.則可住5×11=55人，相差67-55=12人：

　　每增加一間中宿舍，可增加7-5=2個人，如果只剩下中宿舍，則中宿舍為12+2=6間.小宿舍為11-6=5間，大宿舍0間;

　　每增加一間大宿舍，可增加8-5=3個人，如果只剩下大宿舍。則大宿舍為12+3=4間.小宿舍為11-4=7間，中宿舍0間。

　　實際上，以上兩種情況都是極端情況，根據(jù)題意可知，大中小宿舍都要有.于是小宿舍間數(shù)在5　　【例題3】將一個表面積為36平方米的正方體平分為兩個長方體，再將這兩個長方體拼成一個大長方體，則大長方形的表面積是(　　)。

　　A.24平方米

　　B.30平方米

　　C.36平方米

　　D.42平方米

　　解析：此題答案為D。通過計算也可以求出表面積，也可以利用極限圖形來考慮。由幾何極限理論可知，體積相同的物體，越接近球體，其表面積越小。大萇方體與正方體相比較。正方體比較接近球體，所以正方體的表面積小于大長方體的表面積，所以答案應(yīng)該大于36平方米，直接排除A、B、C，選擇D。

　　【例題4】(事業(yè)單位考試真題)四年級一班選班長，每人投票從甲、乙、丙三個候選人中選一人，一班全班共有52人，并且在計票過程中的某一時刻，三人票數(shù)相等，甲最少再得多少張票就能保證當選?

　　A.1

　　B.2

　　C.4

　　D.8

　　解析：此題答案為A。由題干條件可知，當三人票數(shù)相等破，求甲最少再得多少張票才能當選，則三人相等的票數(shù)應(yīng)盡可能的大。因為52=3×17+1，所以甲最少再得1張票就能保證當選。　　第十二節(jié)十字交叉法

　　定義：十字交叉法是利用“交叉十字”來求兩個部分混合后平均量的一種簡便方法。

　　適用范圍：十字交叉法一般只用于兩個部分相關(guān)的平均值問題，且運用的前提已知總體平均值r。應(yīng)用要點：第一部分的平均值為a，第二部分的平均值為b(這里假設(shè)a>b)，混合后的平均值為r。

　　由上可知，總體平均值r介于兩個部分的平均值a,b之間，十字交叉法的使用步驟如下：(1)找出各個部分平均值和總體平均值;(2)平均值間交叉作差，寫出部分對應(yīng)量或?qū)?yīng)量的比：(3)利用比例關(guān)系解答。

　　一、已知平均值求對應(yīng)量比例(或具體量A、B)

　　已知兩個部分的平均值a、b，總體平均值r，求A、B之間的比例。這種情況下，往往還有衍生：求出A、B比例之后，再根據(jù)A、B總量，求出A、B的具體數(shù)量。

　　二、已知總體平均值和一部分平均值求另一部分平均值

　　已知其中一個部分的平均值。，總體平均值r，A、B之間的比例關(guān)系，求b。在這種情況中。A、B之間的比例關(guān)系有時并不直接給出，而是給出具體值。需要化簡求出其比例關(guān)系。

　　第十四節(jié)歸納法

　　歸納法是從已知條件的簡單情況入手，通過對特殊情況的總結(jié)，得出一個普遍適用規(guī)律的方法。這種方法適用于那些多次重復(fù)操作的問題。

　　需要注意的是，這種方法得出的結(jié)論只是猜測而沒有經(jīng)過合理證明，因此有時候得出的結(jié)論不一定是正確的，需要通過證明驗證其正確性。

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