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容斥問(wèn)題是一種集合計(jì)數(shù)問(wèn)題，是數(shù)量關(guān)系中比較常見(jiàn)的一種問(wèn)題，對(duì)于這一類問(wèn)題，如果不進(jìn)行系統(tǒng)性的學(xué)習(xí)，沒(méi)有掌握好想用的技巧就會(huì)覺(jué)得比較難以下手，今天考試吧就詳細(xì)地講一下對(duì)于這類問(wèn)題怎么用公式法快速求解。
容斥問(wèn)題的常見(jiàn)考察方式分為二者容斥和三者容斥，根據(jù)題目所給條件總結(jié)為如下幾個(gè)公式。
二者容斥問(wèn)題公式：全集=A+B+空白-A∩B
三者容斥問(wèn)題公式：全集=A+B+C+空白-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C
= A+B+C+空白-只含兩者-2×A∩B∩C
= A+B+C+空白-至少包含兩者-A∩B∩C
對(duì)于公式大家一定要記清楚并能夠理解記憶，公式很重要，因?yàn)槿莩鈫?wèn)題的考察中絕大多數(shù)題目都是可以直接用公式法求解的，而且只要記住公式就能夠很快的解題，下面我們通過(guò)幾個(gè)例題看看具體的題目該怎么求解。
【例1】某班有50名學(xué)生，在一次測(cè)驗(yàn)中有26人滿分，在第二次測(cè)驗(yàn)中有21人滿分，如果兩次測(cè)驗(yàn)都沒(méi)得過(guò)滿分的學(xué)生有17人，那么兩次測(cè)驗(yàn)都得滿分的有多少人?
A.14 B.12 C.17 D.20
【解析】通過(guò)都題目可以發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)二者容斥的問(wèn)題，要求的是兩者的交集，設(shè)為X，全集是50，空白區(qū)域是17，所以根據(jù)公式可以列出式子：50=26+21+17-X，可以算出X等于14，故選擇A答案。
【例2】某高校對(duì)一些學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊(cè)會(huì)計(jì)師考試的有63人，準(zhǔn)備參加英語(yǔ)六級(jí)考試的有89人，準(zhǔn)備參加計(jì)算機(jī)考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的都15人。問(wèn)接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人?
A.120 B.144 C.177 D.192
【解析】通過(guò)題目可以發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)三者容斥問(wèn)題，要求的全集的大小。集合A可以看成是63，集合B可以看成是89，集合C可以看成是47，只含兩者的是46，三者的交集是24，空白區(qū)域是15，所以列式為：全集=63+89+47+15-46-2×24=120，故選擇A選項(xiàng)。
【例3】某服裝公司就消費(fèi)者對(duì)紅、黃、藍(lán)三種顏色的偏好情況進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查，共抽取了40名消費(fèi)者，發(fā)現(xiàn)其中有20人喜歡紅色、20人喜歡黃色、15人喜歡藍(lán)色，至少喜歡兩種顏色的有19人。喜歡三種顏色的有3人，問(wèn)三種顏色都不喜歡的有幾人?
A.1 B.3 C.5 D.7
【解析】通過(guò)題目可以發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)三者容斥問(wèn)題，要求的是空白區(qū)域，可以設(shè)為X，全集為40，集合A是20，集合B是20，集合C是15，至少包含兩者的是19，三者的交集是3，根據(jù)公式可以列式為：40=20+20+15+X-19-3，可以解出X等于7，所以選擇D選項(xiàng)。
中公教育專家相信大家通過(guò)上面三個(gè)例題可以看出，容斥問(wèn)題只要掌握好了相應(yīng)的公式，解題起來(lái)是相當(dāng)快速的，所以考生們一定要記住公式并根據(jù)所給條件選擇相應(yīng)的公式求解。
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