2018年國考行測《數(shù)量關系》之“隔板模型”

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　　排列組合問題一直以來是我們國考中的重點，通常聯(lián)系實際，生動有趣，題型多樣，思路靈活，不易掌握。而在本文中重點講解排列組合中的錯位重排模型，模型解法簡單易懂，只要記住對應數(shù)字就能夠快速解決這一問題。

　　本質(zhì):相同元素的不同分堆。公式:把 n 個相同元素分給 m 個不同的對象，每個對象至少 1 個元素，問有多少種不同分法的問題可以采用“隔板法”，共有C n-1 m-1 種。

　　條件:這類問題模型適用前提相當嚴格，必須同時滿足以下 3 個條件：

　　(1)所要分的元素必須完全相同;(2)所要分的元素必須分完，決不允許有剩余;(3)每個對象至少分到 1 個，決不允許出現(xiàn)分不到元素的對象。

　　例題展示：如10 個相同的小球，放入 4 個不同的盒子里面，每個盒子至少要放一個球。問有幾種放法?10個球中間有9個空放入3個隔板(隔板是相同而不可以區(qū)分的)，那么就可以分成4堆了，故要求的方法數(shù)就是C93種。

　　以下通過兩個例題來展示隔板模型的兩個變形，如何進行公式的套用。

　　【變形1】n 個相同元素分成 m 份，每份至少多個元素。

　　將 8 個完全相同的球放到 3 個編號分別為 1、2、3 的盒子中，要求每個盒子中放的球數(shù)不少于自身的編號，則一共有多少種方法?

　　A.4 B.5 C.6 D.7

　　【答案】C

　　【解析】此題中沒有要求每個盒子中至少放一個球，而都是至少多個的，因此首先需要做的是轉(zhuǎn)化成把 n 個相同元素分成 m 份，每份至少 1 個元素，問有多少種不同分法的問題。故分兩步進行，第一步先給 2 號盒子 1 個球，3 號盒子 2 個球，因為球一樣，故給法只有1種;第二步，此時剩下 5 個球，只需要“每個盒子至少放一個球”即可，應用隔板法，方法數(shù)為C42 =6，則總的個數(shù)為1×6=6種。

　　【變形2】n 個相同元素分成 m 份，隨意分。

　　王老師要將20個一模一樣的筆記本分給3個不同的學生， 允許有學生沒有拿到， 但必須放完，有多少種不同的方法?

　　A.190 B.231 C.680 D.1140

　　【答案】B。

　　【解析】這道題中說每個盒子可以為空，即至少0個，不能直接用隔板法來做，因此首先需要做的是轉(zhuǎn)化成把 n 個相同元素分成 m 份，每份至少 1 個元素，問有多少種不同分法的問題。故分兩步進行，第一步先每個人借3個相同的本子，因為球一樣，故給法只有1種;第二步，即此題變?yōu)閷?23 個相同的書全放入 3 個人，每個人至少一個球，此時就可以用隔板法了，則有C222=231 種，則總的個數(shù)為1×231=231種。

　　備考有效方法是題型與解法歸類、識別模式、熟練運用。要破解隔板模型的排列組合題，關鍵就是在于理解題目含義，找到題干的變形條件進行適當轉(zhuǎn)化，從而與標準模型對應起來，從而根據(jù)公式快速求解!

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