在數(shù)量關(guān)系中,有一類(lèi)排列組合問(wèn)題被稱為“爬樓梯”問(wèn)題。題目描述如下:有n階臺(tái)階,每次可以登a階或者b階,問(wèn)要登上第n階臺(tái)階一共有多少種方法。這種題目,很多同學(xué)不明白其中的道理,遇到之后都無(wú)從下手,考試吧就帶領(lǐng)大家來(lái)梳理此類(lèi)問(wèn)題的具體解法。
一、母題演示
12階臺(tái)階,每次可以登上1階或者2階,請(qǐng)問(wèn)有多少種走法?
A.233 B.300 C.350 D.364
思考:從最后的爬樓梯狀態(tài)入手,要想登上第12階,我們可以從第11階登一步,也可以從第10階登兩步,均可以達(dá)到目的。也就是說(shuō),登上第12階的方法可以分成兩類(lèi),表示成S(12)=S(11)+S(10),其中S(12)為爬上12階的總方法,S(11)為爬上11階的總方法。同理S(11)=S(10)+S(9)。
以此類(lèi)推,本題的解題遞推公式就是S(n)=S(n-1)+S(n-2)。接下來(lái)只需要通過(guò)枚舉法求出S(1)=1、S(2)=2即可。
下面對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的解決方法進(jìn)行總結(jié):
、偻ㄟ^(guò)分析最后爬樓梯的狀態(tài),確定遞推公式;②通過(guò)枚舉求出前若干項(xiàng);③通過(guò)畫(huà)表格求出答案。
二、舉一反三
例1:12階臺(tái)階,每次可以登上1階或者3階臺(tái)階,請(qǐng)問(wèn)有多少種走法?
【解析】:第一步:分析最后的狀態(tài),可以分為從11階登一步上去,或者從第9階登三步上去兩大類(lèi),所以S(12)=S(11)+S(9),以此類(lèi)推,S(n)=S(n-1)+S(n-3);
第二步:枚舉S(1)=1、S(2)=1,、S(3)=2;
第三步:畫(huà)表格求答案!
例2:12階臺(tái)階,每次可以登上1階或者2階或者3階臺(tái)階,請(qǐng)問(wèn)有多少種走法?
【解析】:第一步:分析最后的狀態(tài),可以從11階登一步上去,或者從第10階登二步上去,還可以從第9階登3步上去,共計(jì)三類(lèi),所以S(12)=S(11)+S(10)+S(9),以此類(lèi)推,S(n)=S(n-1)+S(n-2)+S(n-3);
第二步:枚舉S(1)=1、S(2)=2、S(3)=4;
第三步:畫(huà)表格求答案!
通過(guò)以上幾道題目,大家會(huì)發(fā)現(xiàn),爬樓梯問(wèn)題是加法原理的基本應(yīng)用,所以只要我們明白了其中的道理,學(xué)會(huì)基本步驟,就可以快速解決這一類(lèi)問(wèn)題。
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