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　　第四節(jié)　數(shù)據(jù)分析

　　一、基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)分析

　　(一)描述統(tǒng)計(jì)分析

　　1.集中趨勢(shì)的測(cè)度

　　集中趨勢(shì)是指一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向，測(cè)度集中趨勢(shì)就是確定數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值。集中趨勢(shì)的測(cè)量有三個(gè)常用的指標(biāo)：

　　(1)眾數(shù)，是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。

　　對(duì)數(shù)據(jù)確定眾數(shù)時(shí)，只需把數(shù)據(jù)整理后列出頻數(shù)(出現(xiàn)次數(shù))分布表，頻數(shù)最多的那一組為眾數(shù)。從分布圖形來看，眾數(shù)應(yīng)對(duì)應(yīng)于圖形最高點(diǎn)。有些情況下數(shù)據(jù)分布可能表現(xiàn)為雙眾數(shù)，甚至多眾數(shù)，也有另一種情況，即沒有眾數(shù)(均勻分布)。眾數(shù)的基本思想，是用來反映一組數(shù)據(jù)若存在聚中趨勢(shì)，則在數(shù)據(jù)的中心，變量值出現(xiàn)的頻數(shù)較高，眾數(shù)就是這一位置的代表值。

　　眾數(shù)的一個(gè)突出特點(diǎn)是它不受極端數(shù)值的影響。

　　(2)中位數(shù)，是一組數(shù)據(jù)排序后處于中間位置的變量值，是一組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)，即高于和低于它的數(shù)據(jù)各占一半。

　　(3)均值，是集中趨勢(shì)的主要測(cè)度值，用于反映一組數(shù)值型數(shù)據(jù)的一般水平。主要包括算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)。

　　2.離散程度的測(cè)度

　　數(shù)據(jù)的離散程度是數(shù)據(jù)分布的另一重要特征，它是指各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度，所以也叫離中趨勢(shì)。

　　離中趨勢(shì)是經(jīng)過綜合與抽象后對(duì)數(shù)據(jù)一般水平的概括性描述，它對(duì)數(shù)據(jù)的代表性取決于數(shù)據(jù)的離散程度，離散程度小代表性就好，反之代表性就差。

　　(1)極差，也稱全距，是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差。

　　極差是描述數(shù)據(jù)離散程度的最簡單的方法，表明數(shù)據(jù)的分布范圍。它計(jì)算簡單，易于理解。但是極差由兩端數(shù)值所決定，不能反映中間數(shù)據(jù)的分布離散狀況。

　　(2)平均差，也叫平均離差，是各變量值(Xi)與其均值()離差絕對(duì)值的平均數(shù)：

　　平均差反映了所有數(shù)據(jù)與均值的平均距離。平均差越小，說明數(shù)據(jù)離散程度越小。

　　(3)方差和標(biāo)準(zhǔn)差。方差是一組數(shù)據(jù)中各變量值與均值離差平方的平均數(shù)。方差的平方根叫標(biāo)準(zhǔn)差。方差與標(biāo)準(zhǔn)差是描述數(shù)據(jù)分布特征的重要的統(tǒng)計(jì)量，它們是反映數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度最主要、最常用的方法。

　　根據(jù)總體數(shù)據(jù)和樣本數(shù)據(jù)計(jì)算方差及標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，計(jì)算公式略有不同。

　　計(jì)算總體方差：

　　總體標(biāo)準(zhǔn)差:

　　計(jì)算樣本方差:

　　樣本標(biāo)準(zhǔn)差：

　　式中Xi是數(shù)值序列中的單個(gè)數(shù)值， 是這組數(shù)值的平均值,N是總體數(shù)值的個(gè)數(shù)，n是樣本數(shù)值的個(gè)數(shù)。

　　計(jì)算樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)之所以與總體不同，是因?yàn)橛?jì)算樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，是要把它作為總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量，統(tǒng)計(jì)上對(duì)估計(jì)量要求滿足一些條件(一致性、無偏性、有效性)，為滿足無偏性條件，樣本方差計(jì)算時(shí)，分母要用n-1，而不是n。

　　3.相關(guān)分析

　　所謂相關(guān)分析，是研究現(xiàn)象之間是否存在某種依存關(guān)系，并對(duì)具體有依存關(guān)系的現(xiàn)象探討其相關(guān)方向以及相關(guān)程度，是研究隨機(jī)變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法。

　　變量之間的相關(guān)關(guān)系主要有線性相關(guān)和非線性相關(guān)、正相關(guān)和負(fù)相關(guān)等幾種形式。

　　對(duì)兩個(gè)變量間線性相關(guān)程度的測(cè)量稱為簡單相關(guān)系數(shù)。樣本相關(guān)系數(shù)定義公式為:

 

　　式中，r為樣本相關(guān)系數(shù)，COVXY為協(xié)方差，Sx、Sy分別是變量x和y的標(biāo)準(zhǔn)差。(注意：公式中分子分母求和表達(dá)式中應(yīng)該是i=1到n，而不是n=1到n)

　　相關(guān)系數(shù)r的取值范圍在-1～+1之間。

　　·r=1或r=-1時(shí)，表明變量間的關(guān)系為完全正相關(guān)或完全負(fù)相關(guān)，這是兩種極端的情況，實(shí)際上表明兩個(gè)變量之間是線性關(guān)系;

　　·r=0時(shí)，表明變量間不存在線性相關(guān)關(guān)系，可能是無相關(guān)，也可能是非線性相關(guān);

　　·0

　　·-l

　　|r|愈接近于l，變量間相關(guān)程度愈高，|r|愈接近于0，相關(guān)程度愈低。

　　在一般情況下，總體相關(guān)系數(shù)p是未知的，一般是用樣本相關(guān)系數(shù)r作為總體相關(guān)系數(shù)P的估計(jì)值。但由于存在樣本抽樣的隨機(jī)性，樣本相關(guān)系數(shù)并不直接反映總體相關(guān)程度，因而，計(jì)算出來的樣本相關(guān)系數(shù)在多大程度上值得信賴，需要進(jìn)行檢驗(yàn)。

　　|r|<自由度(df)為(n-2)的t統(tǒng)計(jì)量t(n-2)、顯著性為a(10%;5%)的相關(guān)系數(shù)(查相關(guān)系數(shù)表)，其相關(guān)性是顯著的。所謂“顯著水平”或r=0，指的是很少會(huì)發(fā)生的概率。

　　(教材這句話是錯(cuò)誤的，正確的表達(dá)為：

　　|r|< 時(shí)，相關(guān)性是不顯著的。

　　|r|>時(shí)，相關(guān)性是顯著的。

　　其中 ，而則可以通過查表得知，α可以取5%，也可以取10%)

　　在實(shí)際中，因?yàn)檠芯磕康摹⒆兞款愋偷牟煌�，采用的相關(guān)分析也不同。比較常用的相關(guān)分析有二元定距變量的相關(guān)分析、二元定序變量的相關(guān)分析、偏相關(guān)分析和距離分析等。

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