中國科學院研究生院碩士研究生入學考試

　　高等數(shù)學(甲)考試大綱

　　一、 考 試 性 質(zhì)

　　中國科學院研究生院碩士研究生入學高等數(shù)學(甲)考試是為招收理學非數(shù)學專業(yè)碩士研究生而設置的選拔考試。它的主要目的是測試考生的數(shù)學素質(zhì)，包括對高等數(shù)學各項內(nèi)容的掌握程度和應用相關知識解決問題的能力。考試對象為參加全國碩士研究生入學考試、并報考理論物理、原子與分子物理、粒子物理與原子核物理、等離子體物理、凝聚態(tài)物理、天體物理、天體測量與天體力學、空間物理學、光學、物理電子學、微電子與固體電子學、電磁場與微波技術、物理海洋學、海洋地質(zhì)、氣候?qū)W等專業(yè)的考生。

　　二、 考試的基本要求

　　要求考生系統(tǒng)地理解高等數(shù)學的基本概念和基本理論，掌握高等數(shù)學的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

　　三、 考試方法和考試時間

　　高等數(shù)學(甲)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

　　四、考試內(nèi)容和考試要求

　　(一)函數(shù)、極限、連續(xù)

　　考試內(nèi)容

　　函數(shù)的概念及表示法 函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性 復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形

　　數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念 無窮小和無窮大的概念及其關系 無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較 極限的四則運算 極限存在的單調(diào)有界準則和夾逼準則 兩個重要極限：

　　函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)間斷點的類型 初等函數(shù)的連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的一致連續(xù)性概念

　　考試要求

　　1. 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，并會建立簡單應用問題中的函數(shù)關系式。

　　2. 理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。掌握判斷函數(shù)這些性質(zhì)的方法。

　　3. 理解復合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。會求給定函數(shù)的復合函數(shù)和反函數(shù)。

　　4. 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

　　5. 理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關系。

　　6. 掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則，會運用它們進行一些基本的判斷和計算。

　　7. 掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限。掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

　　8. 理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。

　　9. 理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會判別函數(shù)間斷點的類型。

　　10. 掌握連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理等)，并會應用這些性質(zhì)。

　　11.理解函數(shù)一致連續(xù)性的概念。

　　(二)一元函數(shù)微分學

　　考試內(nèi)容

　　導數(shù)的概念 導數(shù)的幾何意義和物理意義 函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系 平面曲線的切線和法線 基本初等函數(shù)的導數(shù) 導數(shù)的四則運算 復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)的導數(shù)的求法 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導方法 高階導數(shù)的概念 高階導數(shù)的求法 微分的概念和微分的幾何意義 函數(shù)可微與可導的關系 微分的運算法則及函數(shù)微分的求法 一階微分形式的不變性 微分在近似計算中的應用 微分中值定理 洛必達(L’Hospital)法則 泰勒(Taylor)公式 函數(shù)的極值 函數(shù)最大值和最小值 函數(shù)單調(diào)性 函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線 函數(shù)圖形的描繪 弧微分及曲率的計算

　　考試要求

　　1. 理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)與微分的關系，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描述一些物理量，掌握函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系。

　　2. 掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，掌握基本初等函數(shù)的求導公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。

　　3. 了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導數(shù)。

　　4. 會求分段函數(shù)的一階、二階導數(shù)。

　　5. 會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)

　　6. 會求反函數(shù)的導數(shù)。

　　7. 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。

　　8. 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應用。

　　9. 會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。

　　10. 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

　　11.了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

　　(三)一元函數(shù)積分學

　　考試內(nèi)容

　　原函數(shù)和不定積分的概念 不定積分的基本性質(zhì) 基本積分公式 定積分的概念和基本性質(zhì) 定積分中值定理 變上限定積分定義的函數(shù)及其導數(shù) 牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分 廣義積分(無窮限積分、瑕積分) 定積分的應用