(六)多元函數(shù)積分學(xué)

　　考試內(nèi)容

　　二重積分、三重積分的概念及性質(zhì) 二重積分與三重積分的計算和應(yīng)用 兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計算 兩類曲線積分之間的關(guān)系 格林(Green)公式 平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件 已知全微分求原函數(shù) 兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算 兩類曲面積分之間的關(guān)系 高斯(Gauss)公式 斯托克斯(Stokes)公式 散度、旋度的概念及計算 曲線積分和曲面積分的應(yīng)用

　　考試要求

　　1. 理解二重積分、三重積分的概念，掌握重積分的性質(zhì)。

　　2. 熟練掌握二重積分的計算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))，會計算三重積分(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo))，掌握二重積分的換元法。

　　3. 理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。熟練掌握計算兩類曲線積分的方法。

　　4. 熟練掌握格林公式，會利用它求曲線積分。掌握平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。會求全微分的原函數(shù)。

　　5. 理解兩類曲面積分的概念，了解兩類曲面積分的性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系。熟練掌握計算兩類曲面積分的方法。

　　6. 掌握高斯公式和斯托克斯公式，會利用它們計算曲面積分和曲線積分。

　　7. 了解散度、旋度的概念，并會計算。

　　8. 了解含參變量的積分和萊布尼茨公式。

　　9. 會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、曲面的面積、物體的體積、曲線的弧長、物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功及流量等)。

　　(七)無窮級數(shù)

　　考試內(nèi)容

　　常數(shù)項級數(shù)及其收斂與發(fā)散的概念 收斂級數(shù)的和的概念 級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件 幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性 正項級數(shù)收斂性的判別法 交錯級數(shù)與萊布尼茨定理 任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂 函數(shù)項級數(shù)的收斂域、和函數(shù)的概念 冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開區(qū)間)和收斂域 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法 泰勒級數(shù) 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 函數(shù)的冪級數(shù)展開式在近似計算中的應(yīng)用 函數(shù)的傅里葉(Fourier)系數(shù)與傅里葉級數(shù) 狄利克雷(Dirichlet)定理 函數(shù)在[-l，l]上的傅里葉級數(shù) 函數(shù)在[0，l]上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性。

　　考試要求

　　1. 理解常數(shù)項級數(shù)的收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件

　　2. 掌握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂與發(fā)散情況。

　　3. 熟練掌握正項級數(shù)收斂性的各種判別法。

　　4. 熟練掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。

　　5. 理解任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。

　　6. 了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

　　7. 理解冪級數(shù)的收斂域、收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域的求法。

　　8. 了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項微分和逐項積分)，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。

　　9. 了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。

　　10. 掌握一些常見函數(shù)如ex、sin x、cos x、ln(1+x)和(1+x)α等的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。

　　11. 會利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式進(jìn)行近似計算。

　　12.了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷定理，會將定義在[-l，l]上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在[0，l]上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會將周期為2l的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)。

　　13. 了解函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)，會判斷函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性。

　　(八)常微分方程

　　考試內(nèi)容

　　常微分方程的基本概念 變量可分離的微分方程 齊次微分方程 一階線性微分方程 伯努利(Bernoulli)方程 全微分方程 可用簡單的變量代換求解的某些微分方程 可降價的高階微分方程 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程 歐拉(Euler)方程 微分方程的冪級數(shù)解法 簡單的常系數(shù)線性微分方程組的解法 微分方程的簡單應(yīng)用

　　考試要求

　　1. 掌握微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

　　2. 熟練掌握變量可分離的微分方程的解法，熟練掌握解一階線性微分方程的常數(shù)變易法。

　　3. 會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換求解某些微分方程。

　　4. 會用降階法解下列方程：y(n) =f(x)，y″ =f(x，y′ )和y″ =f(y，y′ )

　　5. 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。了解解二階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法。

　　6. 掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

　　7. 會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

　　8. 會解歐拉方程。

　　9. 了解微分方程的冪級數(shù)解法。

　　10.了解簡單的常系數(shù)線性微分方程組的解法。

　　11 會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。

　　五、主要參考文獻(xiàn)

　　《高等數(shù)學(xué)》(上、下冊)，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編，高等教育出版社，1996年第四版，以及其后的任何一個版本均可。

　　編制單位：中國科學(xué)院研究生院