海文名師第一時間點(diǎn)評2008年考研數(shù)學(xué)真題

　　主持人：親愛的各位搜狐網(wǎng)友，大家晚上好!今天搜狐教育頻道特別邀請到萬學(xué)海文學(xué)校數(shù)學(xué)考研輔導(dǎo)專家李元正老師、李永樂老師和王式安老師三位老師來到我們嘉賓聊天室，為廣大網(wǎng)友在全國第一時間點(diǎn)評2008年考研數(shù)學(xué)真題。歡迎三位老師的到來，三位老師好!請你們先跟廣大網(wǎng)友打個招呼。

　　李正元：大家好!我是李正元，我是輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)。

　　李永樂：大家好，我是李永樂，我主講線性代數(shù)。

　　王式安：大家好，我是王式安，我主要講概率統(tǒng)計(jì)。

　　主持人：研考數(shù)學(xué)考試今天上午已經(jīng)結(jié)束，大家最關(guān)心得救是考題的答案解析和自己的考試情況，請三位老師結(jié)合高數(shù)、線性代數(shù)、概率在試題中所占的比例分布談?wù)劷衲暝囶}的總體特點(diǎn)。首先請李正元老師給我們談一談。

　　李正元：我主要講一下高數(shù)，因?yàn)槲铱吹谋容^多的比較詳細(xì)的是數(shù)一，總體印象有這么幾個特點(diǎn)： 第一，從難易程度來說，我覺得高數(shù)的難易程度比去年降低了點(diǎn)。 第二，大部分計(jì)算題的量，從高數(shù)來說也不是很大，很多主要是概念的應(yīng)用。 第三，也出現(xiàn)了一些考試?yán)锩娴谝淮纬霈F(xiàn)的題型，比方說數(shù)一的有一道題，是高數(shù)基本定理的證明，后不會著名，一般可能像復(fù)習(xí)書上不會寫的，如果同學(xué)基本概念比較清楚，這個證明題的方法應(yīng)該是基本的，但是有些同學(xué)根本可能沒復(fù)習(xí)到，原來數(shù)學(xué)熟練程度差點(diǎn)的可能也不知道怎么做了，但是基本證明題會幾步就會得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，這是第一個定理的證明題。作為定理證明題也不復(fù)雜，像前幾年數(shù)三、數(shù)四也出面過證明，那個比這個難一點(diǎn)，這個相對來講就幾步。這是第一個第一次體現(xiàn)。

　　第二，像條件極值問題，如果二元極值只有一個條件，這是自然的，二元函數(shù)的極值問題有幾種情況，一種是一個條件，一種是兩個條件，方法是一樣的，今年數(shù)四也是兩個條件的，所以這是第一次以前沒有出現(xiàn)過的。比如還有三階長系數(shù)，這也是第一次出現(xiàn)。當(dāng)然要自己對這個東西沒復(fù)習(xí)到，等于就不會，難度并不大。

　　傅立葉級數(shù)已經(jīng)多少年沒考過，有同學(xué)問今年會不會考?看問題有兩面性，多年沒考過的考試頻率比較低，會不會有可能性，但是還有多少年沒有考過，今年也可能考，所以問題有兩面性，自己要決策。求福利愛系數(shù)和富里艾級數(shù)以前考過，但是這個本質(zhì)上和求合沒有區(qū)別，就算個級數(shù)，這個意義說有一些新的題型，但是這個難度并不大。當(dāng)然有的同學(xué)如果沒有復(fù)習(xí)到，或者放棄某些內(nèi)容的復(fù)習(xí)，這個題目可能就不太會了。所以這就是我總體上覺得今年考試的特點(diǎn)。

　　另外一個，有一些題目計(jì)算量不大，有一些東西是基本工夫的應(yīng)用，比如選擇題的第一次，是變限積分的求導(dǎo)，里面2+T的積分，就是求導(dǎo)一下，到案是2X，把X方帶進(jìn)去，就是…2+X平方，這是恒正的，這么一看就很清楚了。

　　比方里面有一個一個函數(shù)FX，在負(fù)無窮、正無窮上單調(diào)有界，XN這個數(shù)列底下就討論，相當(dāng)于XN收斂，F(xiàn)XN是否也收斂的一個問題，這個題到這兒應(yīng)該能想到，能用的定理就是單調(diào)有界，F(xiàn)本身收斂，如果XN單調(diào)符合結(jié)果，F(xiàn)XN也一定單調(diào)，自然應(yīng)該選擇這樣一個，如果FN單調(diào)，F(xiàn)XN就收斂。這里面沒有用很多計(jì)算，就是一些概念的運(yùn)算，還有其他一些題目也是這樣的問題，所以很多基本的東西我想也體現(xiàn)了考試?yán)锩婊�本東西是非常重要的。我說的有一些題目計(jì)算量并不大，其實(shí)根據(jù)也在這兒，我只要概念清楚，其實(shí)有些個別題目不用動手，只要腦子里面，當(dāng)然首先內(nèi)容要熟練，動動腦子這個題目就可以做出來了，不必要計(jì)算，但不是所有題目都這樣，那是不可能的。

　　比方說有一個第一次考試的定理的證明，數(shù)一的第18題，假設(shè)函數(shù)FH連續(xù)，大FX等于小F的積分，證明大FX可導(dǎo)的，導(dǎo)函數(shù)就是小FX。作為定理的證明，或許用已知的定理證明，最基本的就是按定義證明，這個問題能想到按定義證明就是一步了，就是大F德爾塔X+F大X減FX，除于德爾塔X，現(xiàn)在就要大FX+德爾塔X，跟大F表現(xiàn)出來，兩個相健，就利用積分對區(qū)的可加性，這里面有一部分減掉了，就等于是F的積分從X到德爾塔X，再除以德爾塔X的極限，這里面就要用積分中值定理，這個極限就等于F…的極限，這個是在F加德爾塔X之間。這就是基本的定理，也有基本的定義的應(yīng)用。

　　這兒最容易犯的錯誤，當(dāng)你寫了最后一步的時候，而不是利用積分中的定理，而是用所謂的羅比特法則做的時候就犯了概念性的錯誤，這里面分子、分母的求導(dǎo)，實(shí)際上用的是導(dǎo)數(shù)的公式，這個就是錯誤的，分?jǐn)?shù)就沒有了。這個題我想并不困難，但是我估計(jì)得到滿分的大概不會太多，因?yàn)橛械耐瑢W(xué)就不很熟悉這種方法。其實(shí)方法都講過，首先會用定義，然后用積分中值定理，都是基本概念。

　　所以從這個考試?yán)锩嬉欢ㄒ�重視，有的同學(xué)以前也問過我，特別是對將來在備考中，問問老師基本定理的證明要不要做?我的回答是這樣的，有一些定理證明相對比較復(fù)雜，沒有很多的代表性，當(dāng)然這個就不應(yīng)該說把它花很大力氣了，但是有一些基本定理證明題，本來這個方法是基本的，對解其他題目也有很大啟發(fā)意義的話，這種證明應(yīng)該要會的。像我們這個定理的證明基本方法應(yīng)該是常規(guī)的，是常見的，所以對基本定理一些證明我想應(yīng)該是這樣的態(tài)度來處理它。

　　另外對于數(shù)一來說，這次考題里面，多元跟一元部分，一元微積分加常規(guī)方程是一部分，多元微積分加上級數(shù)是另外一塊，高數(shù)里面考分的比例，今年來看分?jǐn)?shù)加起來應(yīng)該是差不多很接近的，是一半一半的，也許多元還略微高一點(diǎn)。當(dāng)然還有一些多元的分?jǐn)?shù)比較高，不管怎么樣一元是基礎(chǔ)，所以在復(fù)習(xí)里面這個當(dāng)然指以后要準(zhǔn)備考試的，一元跟多元的處理上來說，一元應(yīng)該是個基礎(chǔ)，多元微積分里面很多都要用到一元的部分，考試題分?jǐn)?shù)的比例來說，這兩年來這兩個比例不是相差很懸殊的，很多情況下多元部分分?jǐn)?shù)比一元要高一點(diǎn)，這次也差不多是這樣的情況。

　　主持人：下面請李永樂老師談一下今年試題總體的特點(diǎn)。

　　李永樂：今年代數(shù)考試是這樣的，從填空和選擇來看都是圍繞著特征值設(shè)置題目的，利用特征值來判斷矩陣的可逆，用特征值來求行階數(shù)的值，利用特征值來處理合同，像數(shù)一就是跟二次曲面掛鉤。今年填空題跟選擇題都是圍繞著特征值，所以把特征值如果掌握的比較好的話，今年像填空、選擇應(yīng)當(dāng)是很容易，計(jì)算量也不大。

　　今年代數(shù)的解答題，有一道題是N階方程組的求解，這個N階方程組的求解首先涉及到要算一個N階行階數(shù)的值，要算這個行階數(shù)的值，因?yàn)檫@相當(dāng)于一個證明，所以像這道題我想用數(shù)學(xué)歸納法最簡單，大家如果用數(shù)學(xué)歸納法把這個證明出來這么做是最簡單的。

　　但是這個三條對角線的行階式，往年數(shù)四的填空題里面考過，如果單純的算行階式這個計(jì)算方法比較簡單的是用遞推的方法，我估計(jì)同學(xué)用遞推的放學(xué)可能有困難。作為解方程組這道題，第一問算行階式的值，證明行階數(shù)的值我想最好的方法是用數(shù)學(xué)歸納法，也可以用遞推的方法來求。

　　這道題的第二問是求方程組的唯一解，實(shí)際上就是在考克萊姆法則，這道題不是求整個方程組的解，只是求其中一個，求X1的值，這樣用克萊姆法則把分子、分母兩個行階式一算，答案就非常容易了。因?yàn)榈谝粏栆呀?jīng)告訴你行階式應(yīng)當(dāng)是什么，已經(jīng)告訴你行階式應(yīng)當(dāng)?shù)枚嗌�，所以第二問把第一問的結(jié)論一帶進(jìn)來，用克萊姆法則馬上就把X1求出來。

　　這道題的第三問是要求無窮多解，要求無窮多解我想很容易看得出來應(yīng)該是行階式等于0的時候，現(xiàn)在只有一種可能性，就是小A得0，這時有無窮多解。這個情況下就要考慮方程組解的結(jié)構(gòu)，把方程組的解求出來，把7次方程組的基礎(chǔ)解析求出來，這樣通解就很容易求�，F(xiàn)在就不知道這個7次方程組基數(shù)解析同學(xué)求的時候會不會出毛病，從以往接觸同學(xué)的情況來看，像N次方程組求解，有些同學(xué)基數(shù)解析會求出毛病來。

　　數(shù)一的另外一道節(jié)他題考的是一個質(zhì)的問題，考的是矩陣質(zhì)的證明題。作為數(shù)一的矩陣質(zhì)的證明題，我想只要用好矩陣質(zhì)里面一個基本的公式，矩陣A+B的質(zhì)小于等于矩陣A的質(zhì)+矩陣B的質(zhì)，如果用這個公式第一問就可以馬上證出來了。

　　至于這道題的第二問，在阿爾發(fā)和貝他線性相關(guān)的條件下，如果大家用一下線性相關(guān)的幾何意義，阿爾發(fā)和貝他是線性相關(guān)的，阿爾發(fā)和貝他是不是有一個倍數(shù)關(guān)系，所以咱們是不是可以假設(shè)貝他是阿爾發(fā)的某一個倍數(shù)，如果假設(shè)阿爾發(fā)是貝他的某一個倍數(shù)，大家把信息一帶進(jìn)去，就可以馬上證明A的質(zhì)一定是小于2。所以我想數(shù)一的證明題主要考的是矩陣質(zhì)的概念。

　　數(shù)三、數(shù)四另外一道解答題，一個是考的是線性無關(guān)的證明，作為一個線性無關(guān)的證明題我想是以往考試當(dāng)中最常見的一種，就是考同學(xué)的定義法，讓大家用定義法來證明這個與線性無關(guān)，就要求同學(xué)們先假設(shè)它們的合等于0，然后把這個組合系數(shù)是0給證出來。

　　第二問考一個相似，這個是05年數(shù)四考題當(dāng)中出現(xiàn)過的。05年數(shù)四的考題就是這樣一個出題法，告訴大家A阿爾發(fā)等于什么，讓同學(xué)把A阿爾發(fā)這個條件用矩陣方程的方法拼好，馬上就出現(xiàn)相似了，所以這道題的第二問和05年的考題完全是一樣的。 所以從今年代數(shù)幾道考題的出題情況來看，我想考的還是代數(shù)里面基本的內(nèi)容，計(jì)算量不大，概念比較多，題目解起來比較靈活一些。我想今年代數(shù)題大概的特點(diǎn)是這樣的，如果同學(xué)在過去復(fù)習(xí)當(dāng)中重視基本的東西，要比較熟悉的話我想今年代數(shù)題還是比較好做的。

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