2011年中招考試：《初中數(shù)學》競賽講座(1)

　　3.圖表中奇與偶

　　例7(第10屆全俄中學生數(shù)學競賽試題)在3×3的正方格(a)和(b)中，每格填“+”或“-”的符號，然后每次將表中任一行或一列的各格全部變化試問重復若干次這樣的“變號”程序后，能否從一張表變化為另一張表.

　　解 按題設程序，這是不可能做到的，考察下面填法：

　　在黑板所示的2×2的正方形表格中，按題設程序“變號”，“+”號或者不變，或者變成兩個.

　　表(a)中小正方形有四個“+”號，實施變號步驟后，“+”的個數(shù)仍是偶數(shù);但表(b)中小正方形“+”號的個數(shù)仍是奇數(shù)，故它不能從一個變化到另一個.

　　顯然，小正方形互變無法實現(xiàn)，3×3的大正方形的互變，更無法實現(xiàn).

　　例8(第36屆美國中學生數(shù)學競賽試題)將奇正數(shù)1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，從左數(shù)起是第幾列?(此處無表)

　　解 由表格可知，每行有四個正奇數(shù)，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一個數(shù)，又奇數(shù)行的第一個數(shù)位于第二列，偶數(shù)行的第一個數(shù)位于第四列，所以從左數(shù)起，1985在第二列.

　　例9 如圖3-1，設線段AB的兩個端點中，一個是紅點，一個是綠點，在線段中插入n個分點，把AB分成n+1個不重疊的小線段，如果這些小線段的兩個端點一個為紅點而另一個為綠點的話，則稱它為標準線段.

　　證明 不論分點如何選取，標準線段的條路總是奇數(shù).

　　分析 n個分點的位置無關緊要，感興趣的只是紅點還是綠點，現(xiàn)用A、B分別表示紅、綠點;

　　不難看出：分點每改變一次字母就得到一條標準線段，并且從A點開始，每連續(xù)改變兩次又回到A，現(xiàn)在最后一個字母是B，故共改變了奇數(shù)次，所以標準線段的條數(shù)必為奇數(shù). 4.有趣的應用題

　　例 10(第2屆“從小愛數(shù)學”賽題)圖3-2是某一個淺湖泊的平面圖，圖中所有曲線都是湖岸.

　　(1)如果P點在岸上，那么A點在岸上還是在水中?

　　(2)某人過這湖泊，他下水時脫鞋，上岸時穿鞋.如果有一點B，他脫鞋垢次數(shù)與穿鞋的次數(shù)和是個奇數(shù)，那么B點是在岸上還是在水中?說明理由.

　　解 (1)連結AP，顯然與曲線的交點數(shù)是個奇數(shù)，因而A點必在水中.

　　(2)從水中經(jīng)過一次陸地到水中，脫鞋與穿鞋的次數(shù)和為2，由于 A點在水中，氫不管怎樣走，走在水中時，脫鞋、穿鞋的次數(shù)的和總是偶數(shù)，可見B點必在岸上.

　　例11 書店有單價為10分，15分，25分，40分的四種賀年片，小華花了幾張一元錢，正好買了30張，其中某兩種各5張，另兩種各10張，問小華買賀年片花去多少錢?

　　分析 設買的賀年片分別為a、b、c、d(張)，用去k張1元的人民幣，依題意有

　　10a+15b+25c+40d=100k,(k為正整數(shù))

　　即 2a+3b+5c+8d=20k

　　顯然b、c有相同的奇偶性.

　　若同為偶數(shù)，b-c=10 和a=b=5， 不是整數(shù);

　　若同為奇數(shù)，b=c=5和a=d=10,k=7.

　　例12 一個矩形展覽廳被縱橫垂直相交的墻壁隔成若干行、若干列的小矩形展覽室，每相鄰兩室間都有若干方形門或圓形門相通，僅在進出展覽廳的出入口處有若干門與廳外相通，試證明：任何一個參觀者選擇任何路線任意參觀若干個展覽室(可重復)之后回到廳外，他經(jīng)過的方形門的次數(shù)與圓形門的次數(shù)(重復經(jīng)過的重復計算)之差總是偶數(shù).

　　證明 給出入口處展覽室記“+”號，凡與“+”相鄰的展覽室記“-”號，凡與“-”號相鄰的展覽室都記“+”號，如此則相鄰兩室的“+”、“-”號都不同.

　　一參觀者從出入口處的“+”號室進入廳內，走過若干個展覽室又回到入口處的“+”號室，他的路線是+-+-…+-+-，即從“+”號室起到“+”號室止，中間“-”、“+”號室為n+1(重復經(jīng)過的重復計算)，即共走了2n+1室，于是參觀者從廳外進去參觀后又回到廳外共走過了2n+2個門(包括進出出入口門各1次).設其經(jīng)過的方形門的次數(shù)是r次，經(jīng)過圓形門的次數(shù)是s，則s+r=2n+2為偶數(shù)，故r-s也為偶數(shù)，所以命題結論成立.

　　例13 有一無窮小數(shù)A=0.a1a2a3…anan+1an+2…其中ai(i=1,2)是數(shù)字，并且a1是奇數(shù)，a2是偶數(shù)，a3等于a1+a2的個位數(shù)…，an+2是an+an+1(n=1,2…,)的個位數(shù)，證明A是有理數(shù).

　　證明 為證明A是有理數(shù)，只要證明A是循環(huán)小數(shù)即可，由題意知無窮小數(shù)A的每一個數(shù)字是由這個數(shù)字的前面的兩位數(shù)字決定的，若某兩個數(shù)字ab重復出現(xiàn)了，即0.…ab…ab…此小數(shù)就開始循環(huán).

　　而無窮小數(shù)A的各位數(shù)字有如下的奇偶性規(guī)律：

　　A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……

　　又a是奇數(shù)可取1，3，5，7，9;

　　b是偶數(shù)可取0，2，4，6，8.

　　所以非負有序實數(shù)對一共只有25個是不相同的，在構成A的前25個奇偶數(shù)組中，至少出現(xiàn)兩組是完全相同的，這就證得A是一循環(huán)小數(shù)，即A是有理數(shù).

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