2011年中招考試：《初中數(shù)學(xué)》競賽講座(22)

競賽講座22

　　-因式分解

　　因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，具有一定的靈活性和技巧性，下面我們在初中教材已經(jīng)介紹過基本方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合競賽再補充介紹添項、拆項法，待定系數(shù)法、換元法、對稱式的分解等有關(guān)內(nèi)容和方法.

　　1.添項.拆項法

　　添項、拆項的目的是在各項間制造公因式或便于利用公式分解因式，解題時要注意觀察分析題目的特點.

　　例1 (1986年揚州初一數(shù)學(xué)競賽題)分解因式

　　(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2

　　解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)

　　=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)

　　=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2

　　=[(1+y)+x2(1-y)+2x]·[(1+y)+x2(1-y)-2x]

　　=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)

　　=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]

　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

　　例2(第11屆國際數(shù)學(xué)競賽題)證明：具有如下性質(zhì)的自然數(shù)a有無窮多個，對于任意的自然數(shù)m.z=n4+a都不是素數(shù).

　　證明 設(shè)a=4k4(k為大于1的自然數(shù))，則

　　z=n4+a

　　=n4+4k4

　　=n4+4n2k2+4k4-4n2k2

　　=(n2+2k2)2-4n2k2

　　=(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk)

　　=[(n+k)2+k2][(n-k)2+k2]. ①

　　∵k為大于1的自然數(shù)，

　　∴(n+k)2+k2>1, (n-k)2+k2>1

　　故①的右邊兩個因子都大于1，故當(dāng)k>1時，z是合數(shù).

　　由于大于1的自然數(shù)k有無窮多個，故有無窮多個自然數(shù)a，使n4+a對一切自然數(shù)n總非素數(shù)

　　2.待定系數(shù)法

　　若兩多項式f(x)=g(x)，則它們同次的對應(yīng)項系數(shù)一定相等，利用這條結(jié)論可將某些因式分解的問題轉(zhuǎn)化為解方程組的問題來解決.

　　例3分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4.

　　解 由于3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y)，故可設(shè)

　　3x2+5xy-2y2+x+9y-4

　　=(3x-y+a)(x+2y+b)

　　=3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab.

　�、佗冖�

　　比較兩邊系數(shù)得

　　由①,②聯(lián)立得a=4,b=-1,代入③式適合.

　　∴原式=(3x-y+4)(x+2y-1).

　　例4 (1963年北京中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題)已知多項式x3+bx2+cx+d的系數(shù)都是整數(shù),若bd+cd是奇數(shù),,證明這個多項式不能分解為兩個整系數(shù)多項式的乘積.

　　證明 設(shè)

　　x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r)

　　=x3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr

　　(其中p、q、r均為整數(shù))

　　比較兩邊系數(shù)得 pr=d.

　　又 bd+cd=d(b+c)是奇數(shù),故b+c與d均為奇數(shù),那么pr也是奇數(shù),即p與r也是奇數(shù).今以x=1代入(因為它是恒等式)得

　　1+b+c+d=(1+p)(1+q+r). ①

　　∵b+c,d為奇數(shù),∴1+b+c+d也為奇數(shù),而p為奇數(shù),∴1+p為偶數(shù).

　　∴(1+p)(1+q+r)為偶數(shù).這說明等式①的左端為奇數(shù),右端為偶數(shù),這是不可能的.

　　所以,所述多項式不能分解成兩個整系數(shù)多項式的乘積.

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