2011年中招考試：《初中數(shù)學》競賽講座(22)

　　3.換元法

　　例5 分解因式 (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.

　　解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120

　　=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120

　　=(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120

　　令 x2+5x=A, 代入上式,得

　　原式=(A+6)(A+4)-120=A2+10A-96

　　=(A+16)(A-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1)

　　例6 證明a(a+1)(a+2)(a+3)+1必為完全平方數(shù)

　　解 原式=a(a+3)(a+1)(a+2)+1

　　=(a2+3a)(a2+3a+2)+1

　　=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1

　　=(a2+3a+1)2

　　∴a(a+1)(a+2)(a+3)+1為完全平方數(shù).

　　說明:這里未設新元,但在思想上把a2+3a看作一個新元素.

　　4.對稱式的因式分解

　　在一個含有若干個元的多項式中,如果任意交換兩個元的位置,多項式不變,這樣的多項式叫做對稱多項式.

　　例7分解因式x4+(x+y)4+y4

　　分析 這是一個二元對稱式,二元對稱式的基本對稱式是x+y,xy任何二元對稱多項式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對稱多項式的分解方法之一是:先將其用xy,x+y表示,再行分解.

　　解 ∵x4+y4

　　=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2

　　=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.

　　∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4

　　=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2

　　=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]

　　=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,

　　例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).

　　此題中若將式中的b換成a,c換成b,a換成c,即為c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不變,這類多項式稱為關于a、b、c的輪換對稱式，輪換對稱式的因式分解，用因式定理及待定系數(shù)法比較簡單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號f(x)、f(a)如對一元多項式3x2-5x-2可記作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示當x=a時多項式的值，如x=1時多項式3x2-5x-2的值為f(1)=3×12-5×1-2=-4,當x=2時多項式3x2-5x-2的值為f(2)=3×22-5×2-2=0.

　　因式定理 如果x=a時多項式f(x)的值為零,即f(a)=0,則f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).

　　如多項式f(x)=3x2-5x-2,當x=2時,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事實上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).

　　證明 設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,

　　若f(a)=0,則

　　f(x)=f(x)-f(a)

　　=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)

　　=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)

　　=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),

　　由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),

　　∴(x-a)|f(x),

　　對于多元多項式,在使用因式定理時可以確定一個主元,而將其它的元看成確定的數(shù)來處理.

　　現(xiàn)在我們用因式定理來解例8.

　　解 這是一個含有a、b、c三個字母的三次多項式，現(xiàn)以a為主元，設f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知當a=b和a=c時，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多項式的因式，而視b為主元時，同理可知b-c也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式故可設a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k為待定系數(shù)，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.

　　∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)

　　=-(a-b)(b-c)(c-a).

　　例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).

　　分析 這是一個關于a、b、c的四次齊次輪換多項式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多項式的三個因式，而四次多項式還有一個因式，由輪換對稱性可知這個一次因式應是a+b+c，故可設a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)(其中k為待定系數(shù))，取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以

　　原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).

　　因式定理使用得更多的還是一元n次多項式的因式分解.

　　例10 (1985年武漢市初中數(shù)學競賽題)證明：2x+3為多項式2x4-5x3-10x2+15x+18的因式.

　　證明 以 f(x)記多項式.

　　+15-

　　∴2x+3是f(x)的因式.

　　例11 分解因式x3-19x-30.

　　分析 這里常數(shù)項是30,如果多項式f(x)=x3-19x-30有x-a這種形式的因式,那么a一定是30的因數(shù),這是因為f(a)=a3-19a-30=0即a3-19a=30.

　　∵a|(a3-19a), ∴a|30

　　解 30的因數(shù)為±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±15,±30.

　　∵f(1)=-48,f(-1)=-12,f(2)=-60,f(-2)=0,f(3)=-60,f(-3)=0,f(5)=0.(這里已有f(-2)、f(-3)、f(5)等于零了，三次多項式只有三個一次因式，所以不必再計算了.)

　　∴x3-19x-30=k(x+2)(x+3)(x-5),

　　∴x3的系數(shù)為1，∴k=1,

　　故 x3-19x-30=(x+2)(x+3)(x-5).

　　2011年中考數(shù)學備考輔導：選擇題精選匯總

　　名師解讀南京2011年中考數(shù)學命題趨勢