2016中考數(shù)學(xué)備考專項練習(xí)(2)：矩形菱形

　　9. (2014•江蘇徐州,第7題3分)若順次連接四邊形的各邊中點所得的四邊形是菱形，則該四邊形一定是(　　)

　　A.矩形 B. 等腰梯形

　　C.對角線相等的四邊形 D. 對角線互相垂直的四邊形

　　考點： 中點四邊形.

　　分析： 首先根據(jù)題意畫出圖形，由四邊形EFGH是菱形，點E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，AB，BC，CD的中點，利用三角形中位線的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)，即可判定原四邊形一定是對角線相等的四邊形.

　　解答： 解：如圖，根據(jù)題意得：四邊形EFGH是菱形，點E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，AB，BC，CD的中點，

　　∴EF=FG=CH=EH，BD=2EF，AC=2FG，

　　∴BD=AC.

　　∴原四邊形一定是對角線相等的四邊形.

　　故選C.

　　點評： 此題考查了菱形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

　　10. (2014•山東淄博,第9題4分)如圖，ABCD是正方形場地，點E在DC的延長線上，AE與BC相交于點F.有甲、乙、丙三名同學(xué)同時從點A出發(fā)，甲沿著A﹣B﹣F﹣C的路徑行走至C，乙沿著A﹣F﹣E﹣C﹣D的路徑行走至D，丙沿著A﹣F﹣C﹣D的路徑行走至D.若三名同學(xué)行走的速度都相同，則他們到達各自的目的地的先后順序(由先至后)是(　　)

　　A. 甲乙丙 B. 甲丙乙 C. 乙丙甲 D. 丙甲乙

　　考點： 正方形的性質(zhì);線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短;比較線段的長短.

　　分析： 根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ECF，根據(jù)直角三角形得出AF>AB，EF>CF，分別求出甲、乙、丙行走的距離，再比較即可.

　　解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形，

　　∴AB=BC=CD=AD，∠B=90°，

　　甲行走的距離是AB+BF+CF=AB+BC=2AB;

　　乙行走的距離是AF+EF+EC+CD;

　　丙行走的距離是AF+FC+CD，

　　∵∠B=∠ECF=90°，

　　∴AF>AB，EF>CF，

　　∴AF+FC+CD>2AB，AF+FC+CD

　　∴甲比丙先到，丙比乙先到，

　　即順序是甲丙乙，

　　故選B.

　　點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較典型，難度適中.

　　11.(2014•福建福州,第9題4分)如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE. AC，BE相交于點F，則∠BFC為【 】

　　A.45°　 　 B.55°　 　 C.60°　 　 D.75°

　　12.(2014•甘肅蘭州,第7題4分)下列命題中正確的是(　　)

　　A. 有一組鄰邊相等的四邊形是菱形

　　B. 有一個角是直角的平行四邊形是矩形

　　C. 對角線垂直的平行四邊形是正方形

　　D. 一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

　　考點： 命題與定理.

　　分析： 利用特殊四邊形的判定定理對個選項逐一判斷后即可得到正確的選項.

　　解答： 解：A、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故選項錯誤;

　　B、正確;

　　C、對角線垂直的平行四邊形是菱形，故選項錯誤;

　　D、兩組對邊平行的四邊形才是平行四邊形，故選項錯誤.

　　故選B.

　　點評： 本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是牢記特殊的四邊形的判定定理，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

　　13.(2014•廣州,第8題3分)將四根長度相等的細木條首尾相接，用釘子釘成四邊形 ，轉(zhuǎn)動這個四邊形，使它形狀改變，當(dāng) 時，如圖 ，測得 ，當(dāng) 時，如圖 ， ( ).

　　(A) (B)2 (C) (D)

　　圖2-① 圖2-②

　　【考點】正方形、有 內(nèi)角的菱形的對角線與邊長的關(guān)系

　　【分析】由正方形的對角線長為2可知正方形和菱形的邊長為 ，當(dāng) =60°時，菱形較短的對角線等于邊長，故答案為 .

　　【答案】A

　　14.(2014•廣州,第10題3分)如圖3，四邊形 、 都是正方形，點 在線段 上，連接 ， 和 相交于點 .設(shè) ， ( ).下列結(jié)論：① ;② ;③ ;④ .其中結(jié)論正確的個數(shù)是( ).

　　(A)4個 (B)3個 (C)2個 (D)1個

　　【考點】三角形全等、相似三角形

　　【分析】①由 可證 ，故①正確;

　�、谘娱LBG交DE于點H，由①可得 ， (對頂角)

　　∴ =90°，故②正確;

　�、塾� 可得 ，故③不正確;

　　④ ， 等于相似比的平方，即 ，

　　∴ ，故④正確.

　　【答案】B

　　15.(2014•畢節(jié)地區(qū)，第8題3分)如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BC相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于( )

　　A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14

　　考點： 菱形的性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線;三角形中位線定理

　　分析： 根據(jù)菱形的四條邊都相等求出AB，菱形的對角線互相平分可得OB=OD，然后判斷出OH是△ABD的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OH= AB.

　　解答： 解：∵菱形ABCD的周長為28，

　　∴AB=28÷4=7，OB=OD，

　　∵H為AD邊中點，

　　∴OH是△ABD的中位線，

　　∴OH= AB= ×7=3.5.

　　故選A.

　　點評： 本題考查了菱形的對角線互相平分的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.

　　16.(2014•襄陽，第12題3分)如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且AE= AB，將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q，對于下列結(jié)論：①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等邊三角形.其中正確的是(　　)

　　A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④

　　考點： 翻折變換(折疊問題);矩形的性質(zhì)

　　分析： 求出BE=2AE，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得PE=BE，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根據(jù)翻折的性質(zhì)求出∠BEF=60°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠EFB=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得EF=2BE，判斷出①正確;利用30°角的正切值求出PF= PE，判斷出②錯誤;求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判斷出③錯誤;求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等邊三角形，判斷出④正確.

　　解答： 解：∵AE= AB，

　　∴BE=2AE，

　　由翻折的性質(zhì)得，PE=BE，

　　∴∠APE=30°，

　　∴∠AEP=90°﹣30°=60°，

　　∴∠BEF= (180°﹣∠AEP)= (180°﹣60°)=60°，

　　∴∠EFB=90°﹣60°=30°，

　　∴EF=2BE，故①正確;

　　∵BE=PE，

　　∴EF=2PE，

　　∵EF>PF，

　　∴PF>2PE，故②錯誤;

　　由翻折可知EF⊥PB，

　　∴∠EBQ=∠EFB=30°，

　　∴BE=2EQ，EF=2BE，

　　∴FQ=3EQ，故③錯誤;

　　由翻折的性質(zhì)，∠EFB=∠BFP=30°，

　　∴∠BFP=30°+30°=60°，

　　∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，

　　∴∠PBF=∠PFB=60°，

　　∴△PBF是等邊三角形，故④正確;

　　綜上所述，結(jié)論正確的是①④.

　　故選D.

　　點評： 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

　　17.(2014•孝感，第9題3分)如圖，正方形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點D(5，3)在邊AB上，以C為中心，把△CDB旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點D的對應(yīng)點D′的坐標(biāo)是(　　)

　　A. (2，10) B. (﹣2，0) C. (2，10)或(﹣2，0) D. (10，2)或(﹣2，0)

　　考點： 坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

　　分析： 分順時針旋轉(zhuǎn)和逆時針旋轉(zhuǎn)兩種情況討論解答即可.

　　解答： 解：∵點D(5，3)在邊AB上，

　　∴BC=5，BD=5﹣3=2，

　�、偃繇槙r針旋轉(zhuǎn)，則點D′在x軸上，OD′=2，

　　所以，D′(﹣2，0)，

　�、谌裟鏁r針旋轉(zhuǎn)，則點D′到x軸的距離為10，到y(tǒng)軸的距離為2，

　　所以，D′(2，10)，

　　綜上所述，點D′的坐標(biāo)為(2，10)或(﹣2，0).

　　故選C.

　　點評： 本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，正方形的性質(zhì)，難點在于分情況討論.

　　18.(2014•臺灣，第12題3分)如圖，D為△ABC內(nèi)部一點，E、F兩點分別在AB、BC上，且四邊形DEBF為矩形，直線CD交AB于G點.若CF=6，BF=9，AG=8，則△ADC的面積為何?(　　)

　　A.16 B.24 C.36 D.54

　　分析：由于△ADC=△AGC﹣△ADG，根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式計算即可求解.

　　解：△ADC=△AGC﹣△ADG=12×AG×BC﹣12×AG×BF

　　=12×8×(6+9)﹣12×8×9=60﹣36=24.

　　故選：B.

　　點評：考查了三角形的面積和矩形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是活用三角形面積公式進行計算.

　　19.(2014•臺灣，第27題3分)如圖，矩形ABCD中，AD=3AB，O為AD中點，是半圓.甲、乙兩人想在上取一點P，使得△PBC的面積等于矩形ABCD的面積其作法如下：

　　(甲) 延長BO交于P點，則P即為所求;

　　(乙) 以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交于P點，則P即為所求.

　　對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確?(　　)

　　A.兩人皆正確 B.兩人皆錯誤 C.甲正確，乙錯誤 D.甲錯誤，乙正確

　　分析：利用三角形的面積公式進而得出需P甲H=P乙K=2AB，即可得出答案.

　　解：要使得△PBC的面積等于矩形ABCD的面積，

　　需P甲H=P乙K=2AB.

　　故兩人皆錯誤.

　　故選：B.

　　點評：此題主要考查了三角形面積求法以及矩形的性質(zhì)，利用四邊形與三角形面積關(guān)系得出是解題關(guān)鍵.

　　20.(2014•浙江寧波，第6題4分)菱形的兩條對角線長分別是6和8，則此菱形的邊長是( )

　　A. 10 B. 8 C. 6 D. 5

　　考點： 菱形的性質(zhì);勾股定理.

　　分析： 根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理即可求得菱形的邊長.

　　解答： 解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，

　　∴OB=OD=3，OA=OC=4，AC⊥BD，

　　在Rt△AOB中，

　　由勾股定理得：AB= = =5，

　　即菱形ABCD的邊長AB=BC=CD=AD=5，

　　故選D.

　　點評： 本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理，關(guān)鍵是求出OA、OB的長，注意：菱形的對角線互相平分且垂直.

　　21.(2014•浙江寧波，第11題4分)如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點，那么CH的長是( )

　　A. 2.5 B.

　　C.

　　D. 2

　　考點： 直角三角形斜邊上的中線;勾股定理;勾股定理的逆定理.

　　分析： 連接AC、CF，根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.

　　解答： 解：如圖，連接AC、CF，

　　∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，

　　∴AC= ，CF=3 ，

　　∠ACD=∠GCF=45°，

　　∴∠ACF=90°，

　　由勾股定理得，AF= = =2 ，

　　∵H是AF的中點，

　　∴CH= AF= ×2 = .

　　故選B.

　　點評： 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.

　　22.(2014•呼和浩特，第9題3分)已知矩形ABCD的周長為20cm，兩條對角線AC，BD相交于點O，過點O作AC的垂線EF，分別交兩邊AD，BC于E，F(xiàn)(不與頂點重合)，則以下關(guān)于△CDE與△ABF判斷完全正確的一項為(　　)

　　A. △CDE與△ABF的周長都等于10cm，但面積不一定相等

　　B. △CDE與△ABF全等，且周長都為10cm

　　C. △CDE與△ABF全等，且周長都為5cm

　　D. △CDE與△ABF全等，但它們的周長和面積都不能確定

　　考點： 矩形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).

　　分析： 根據(jù)矩形的性質(zhì)，AO=CO，由EF⊥AC，得EA=EC，則△CDE的周長是矩形周長的一半，再根據(jù)全等三角形的判定方法可求出△CDE與△ABF全等，進而得到問題答案.

　　解答： 解：∵AO=CO，EF⊥AC，

　　∴EF是AC的垂直平分線，

　　∴EA=EC，

　　∴△CDE的周長=CD+DE+CE=CD+AD= 矩形ABCD的周長=10cm，

　　同理可求出△ABF的周長為10cm，

　　根據(jù)全等三角形的判定方法可知：△CDE與△ABF全等，

　　故選B.

　　點評： 本題考查了矩形的對角線互相平分的性質(zhì)，還考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法，題目的難度不大.

　　23. (2014•株洲，第7題，3分)已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯誤的是(　　)

　　A. 選①② B. 選②③ C. 選①③ D. 選②④

　　考點： 正方形的判定;平行四邊形的性質(zhì).

　　分析： 要判定是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形.

　　解答： 解：A、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意;

　　B、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得出平行四邊形ABCD是正方形，錯誤，故本選項符合題意;

　　C、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意;

　　D、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由④得對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意.

　　故選B.

　　點評： 本題考查了正方形的判定方法：

　�、傧扰卸ㄋ倪呅问蔷匦�，再判定這個矩形有一組鄰邊相等;

　　②先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角.

　�、圻�可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定.

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