2016中考數(shù)學(xué)備考專項(xiàng)練習(xí)(6)：直角三角函數(shù)

直角三角形

　　一、選擇題

　　1. (2014•山東棗莊，第3題3分)如圖，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，則∠D的度數(shù)為( )

　　A. 17° B. 34° C. 56° D. 124°

　　考點(diǎn)： 平行線的性質(zhì);直角三角形的性質(zhì)

　　分析： 根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠DCE=∠A，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計(jì)算即可得解.

　　解答： 解：∵AB∥CD，

　　∴∠DCE=∠A=34°，

　　∵∠DEC=90°，

　　∴∠D=90°﹣∠DCE=90°﹣34°=56°.

　　故選C.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

　　2. 1.(2014•湖南張家界，第7題，3分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜邊AC的中垂線，分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn).若BD=2，則AC的長(zhǎng)是(　　)

　　A. 4 B. 4 C. 8 D. 8

　　考點(diǎn)： 線段垂直平分線的性質(zhì);含30度角的直角三角形;勾股定理.

　　分析： 求出∠ACB，根據(jù)線段垂直平分線求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可.

　　解答： 解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，

　　∴∠A=30°.

　　∵DE垂直平分斜邊AC，

　　∴AD=CD，

　　∴∠A=∠ACD=30°，

　　∴∠DCB=60°﹣30°=30°，

　　∵BD=2，

　　∴CD=AD=4，

　　∴AB=2+4+2=6，

　　在△BCD中，由勾股定理得：CB=2 ，

　　在△ABC中，由勾股定理得：AC= =4 ，

　　故選：B.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了線段垂直平分線，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用這些定理進(jìn)行推理的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，難度適中.

　　3. (2014•十堰9.(3分))如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接AC交DE于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，∠ACD=2∠ACB.若DG=3，EC=1，則DE的長(zhǎng)為(　　)

　　A. 2 B. C. 2 D.

　　考點(diǎn)： 勾股定理;等腰三角形的判定與性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線.

　　分析： 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得DG=AG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠GAD=∠GDA，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠CGD=2∠GAD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量關(guān)系可得∠ACD=∠CGD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=DG，再根據(jù)勾股定理即可求解.

　　解答： 解：∵AD∥BC，DE⊥BC，

　　∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB

　　∵點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，

　　∴DG=AG，

　　∴∠GAD=∠GDA，

　　∴∠CGD=2∠CAD，

　　∵∠ACD=2∠ACB，

　　∴∠ACD=∠CGD，

　　∴CD=DG=3，

　　在Rt△CED中，DE= =2 .

　　故選：C.

　　點(diǎn)評(píng)： 綜合考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線，解題的關(guān)鍵是證明CD=DG=3.

　　4. (2014•婁底8.(3分))下列命題中，錯(cuò)誤的是(　　)

　　A. 平行四邊形的對(duì)角線互相平分

　　B. 菱形的對(duì)角線互相垂直平分

　　C. 矩形的對(duì)角線相等且互相垂直平分

　　D. 角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

　　考點(diǎn)： 命題與定理.

　　分析： 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對(duì)A進(jìn)行判斷;根據(jù)菱形的性質(zhì)對(duì)B進(jìn)行判斷;根據(jù)矩形的性質(zhì)對(duì)C進(jìn)行判斷;根據(jù)角平分線的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷.

　　解答： 解：A、平行四邊形的對(duì)角線互相平分，所以A選項(xiàng)的說法正確;

　　B、菱形的對(duì)角線互相垂直平分，所以B選項(xiàng)的說法正確;

　　C、矩形的對(duì)角線相等且互相平分，所以C選項(xiàng)的說法錯(cuò)誤;

　　D、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，所以D選項(xiàng)的說法正確.

　　故選C.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題;正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題;經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理.

　　5. (2014•山東淄博,第10題4分)如圖，矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，且AE=1，BE的垂直平分線MN恰好過點(diǎn)C.則矩形的一邊AB的長(zhǎng)度為(　　)

　　A. 1 B. C. D. 2

　　考點(diǎn)： 勾股定理;線段垂直平分線的性質(zhì);矩形的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)

　　分析： 本題要依靠輔助線的幫助，連接CE，首先利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明BC=EC.求出EC后根據(jù)勾股定理即可求解.

　　解答： 解：如圖，連接EC.

　　∵FC垂直平分BE，

　　∴BC=EC(線段垂直平分線的性質(zhì))

　　又∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，AE=1，AD=BC，

　　故EC=2

　　利用勾股定理可得AB=CD= = .

　　故選：C.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是要畫出輔助線，證明BC=EC后易求解.本題難度中等.

　　6. ( 2014•安徽省,第8題4分)如圖，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段BN的長(zhǎng)為(　　)

　　A. B. C. 4 D. 5

　　考點(diǎn)： 翻折變換(折疊問題).

　　分析： 設(shè)BN=x，則由折疊的性質(zhì)可得DN=AN=9﹣x，根據(jù)中點(diǎn)的定義可得BD=3，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即可求解.

　　解答： 解：設(shè)BN=x，由折疊的性質(zhì)可得DN=AN=9﹣x，

　　∵D是BC的中點(diǎn)，

　　∴BD=3，

　　在Rt△ABC中，x2+32=(9﹣x)2，

　　解得x=4.

　　故線段BN的長(zhǎng)為4.

　　故選：C.

　　點(diǎn)評(píng)： 考查了翻折變換(折疊問題)，涉及折疊的性質(zhì)，勾股定理，中點(diǎn)的定義以及方程思想，綜合性較強(qiáng)，但是難度不大.

　　7. ( 2014•廣西賀州，第11題3分)如圖，以AB為直徑的⊙O與弦CD相交于點(diǎn)E，且AC=2，AE= ，CE=1.則弧BD的長(zhǎng)是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點(diǎn)： 垂徑定理;勾股定理;勾股定理的逆定理;弧長(zhǎng)的計(jì)算.

　　分析： 連接OC，先根據(jù)勾股定理判斷出△ACE的形狀，再由垂徑定理得出CE=DE，故 = ，由銳角三角函數(shù)的定義求出∠A的度數(shù)，故可得出∠BOC的度數(shù)，求出OC的長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論.

　　解答： 解：連接OC，

　　∵△ACE中，AC=2，AE= ，CE=1，

　　∴AE2+CE2=AC2，

　　∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，

　　∵sinA= =，

　　∴∠A=30°，

　　∴∠COE=60°，

　　∴ =sin∠COE，即 = ，解得OC= ，

　　∵AE⊥CD，

　　∴ = ，

　　∴ = = = .

　　故選B.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是垂徑定理，涉及到直角三角形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，難度適中.

　　8.(2014•濱州，第7題3分)下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是( )

　　A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 2，3，4 D. 1， ，3

　　考點(diǎn)： 勾股定理的逆定理

　　分析： 由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可.

　　解答： 解：A、42+52=41≠62，不可以構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

　　B、1.52+22=6.25=2.52，可以構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)正確;

　　C、22+32=13≠42，不可以構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

　　D、12+( )2=3≠32，不可以構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

　　故選B.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

　　9.(2014年山東泰安，第8題3分)如圖，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，連接DC并延長(zhǎng)到E，使CE= CD，過點(diǎn)B作BF∥DE，與AE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.若AB=6，則BF的長(zhǎng)為(　　)

　　A.6 B. 7 C. 8 D. 10

　　分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD= AB=3，則結(jié)合已知條件CE= CD可以求得ED=4.然后由三角形中位線定理可以求得BF=2ED=8.

　　解：如圖，∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，AB=6，∴CD= AB=3.又CE= CD，

　　∴CE=1，∴ED=CE+CD=4.又∵BF∥DE，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

　　∴ED是△AFD的中位線，∴BF=2ED=8.故選：C.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角形中位線定理和直角三角形斜邊上的中線.根據(jù)已知條件求得ED的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵與難點(diǎn).

　　10.(2014年山東泰安，第12題3分)如圖①是一個(gè)直角三角形紙片，∠A=30°，BC=4cm，將其折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C′處，折痕為BD，如圖②，再將②沿DE折疊，使點(diǎn)A落在DC′的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A′處，如圖③，則折痕DE的長(zhǎng)為(　　)

　　A. cm B. 2 cm C. 2 cm D. 3cm

　　分析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC=60°，翻折前后兩個(gè)圖形能夠互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可.

　　解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，

　　∵沿折痕BD折疊點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C′處，

　　∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD= ∠ABC=30°，

　　∵沿DE折疊點(diǎn)A落在DC′的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A′處，∴∠ADE=∠A′DE，

　　∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE= ×180°=90°，

　　在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=4÷ = cm，

　　在Rt△ADE中，DE=BD•tan30°= × = cm.故選A.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，解直角三角形，熟記性質(zhì)并分別求出有一個(gè)角是30°角的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

　　11. (2014•海南,第6題3分)在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于60°，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是(　　)

　　A. 120° B. 90° C. 60° D. 30°

　　考點(diǎn)： 直角三角形的性質(zhì).

　　分析： 根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計(jì)算即可得解.

　　解答： 解：∵直角三角形中，一個(gè)銳角等于60°，

　　∴另一個(gè)銳角的度數(shù)=90°﹣60°=30°.

　　故選D.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

　　12.(2014•隨州，第7題3分)如圖，要測(cè)量B點(diǎn)到河岸AD的距離，在A點(diǎn)測(cè)得∠BAD=30°，在C點(diǎn)測(cè)得∠BCD=60°，又測(cè)得AC=100米，則B點(diǎn)到河岸AD的距離為(　　)

　　A. 100米 B. 50 米 C. 米 D. 50米

　　考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用

　　分析： 過B作BM⊥AD，根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠ABC=30°，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BC=AC，然后再計(jì)算出∠CBM的度數(shù)，進(jìn)而得到CM長(zhǎng)，最后利用勾股定理可得答案.

　　解答： 解：過B作BM⊥AD，

　　∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，

　　∴∠ABC=30°，

　　∴AC=CB=100米，

　　∵BM⊥AD，

　　∴∠BMC=90°，

　　∴∠CBM=30°，

　　∴CM= BC=50米，

　　∴BD= =50 米，

　　故選：B.

　　點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是證明AC=BC，掌握直角三角形的性質(zhì)：30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半.

　　13.(2014•黔南州，第11題4分)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于(　　)

　　A. cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm

　　考點(diǎn)： 含30度角的直角三角形.

　　分析： 根據(jù)在直角三角形中，30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出AE=2ED，求出ED，再根據(jù)角平分線到兩邊的記錄相等得出ED=CE，即可得出CE的值.

　　解答： 解：∵ED⊥AB，∠A=30°，

　　∴AE=2ED，

　　∵AE=6cm，

　　∴ED=3cm，

　　∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，

　　∴ED=CE，

　　∴CE=3cm;

　　故選C.

　　點(diǎn)評(píng)： 此題考查了含30°角的直角三角形，用到的知識(shí)點(diǎn)是在直角三角形中，30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和角平分線的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是求出ED=CE.

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