2011公考《行測》數(shù)量關(guān)系�？键c容斥問題講解

　　通過對近年來國家公務(wù)員考試和各地市公務(wù)員考試行政職業(yè)能力測驗真題的分析，不難發(fā)現(xiàn)，計數(shù)性質(zhì)的試題經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系部分的數(shù)學運算中。而此類試題在運算的過程中又因為容易遺露某個條件而漏計或重復計數(shù)出現(xiàn)錯誤。今天，中公教育專家結(jié)合具體的試題來和大家一起探討解決此類試題的方法。

　　例題：

　　某市對52種建筑防水卷材產(chǎn)品進行質(zhì)量抽檢，其中有8種產(chǎn)品的低溫柔度不合格，10種產(chǎn)品的可溶物含量不達標，9種產(chǎn)品的接縫剪切性能不合格，同時兩項不合格的有7種，有1種產(chǎn)品這三項都不合格。則三項全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種?

　　A.34 B.35 C.36 D.37

　　為便于解決此類計數(shù)問題，不妨先讓我們引入小學奧數(shù)中經(jīng)常用到的一個原理，即容斥原理：

　　在計數(shù)時，必須注意無一重復，無一遺漏。為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先容納(計算)進去，然后再把計數(shù)時重復計算的數(shù)目排斥出去(減去)，使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復，這種計數(shù)的方法稱為容斥原理。

　　容斥原理中經(jīng)常用到的有如下兩個公式：

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　　運用上述兩個公式需要注意以下情況：

　　這兩個公式分別主要針對兩種情況：第一個公式是針對涉及到計算兩類事物的個數(shù)，第二個公式是針對涉及到三類事物的個數(shù)。

　　在理清了容斥原理之后，再來計算前面所提到的例題就會發(fā)現(xiàn)，運用容斥原理解決此類問題就會方便很多。

　　一、運用容斥原理公式來解題

　　題干中所要尋找的是三項全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種，而這道題已經(jīng)給出了這三項建筑防水卷材產(chǎn)品總共有52種，所以，只要求得至少有一項不達標的產(chǎn)品的種數(shù)，就可以計算出三項全部合格(達標)的產(chǎn)品種數(shù)。而不合格的產(chǎn)品涉及到三種情況，所以運用三個集合的容斥關(guān)系公式成了解決此題的不二選擇。

　　假設(shè)B是低溫柔度不合格產(chǎn)品的集合，A是可溶物含量不達標的產(chǎn)品集合，C屬于接縫剪切性能不合格的產(chǎn)品集合，則：

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　　當然，此題還有一種相對較為容易理解的算法，即用文氏圖法。

　　二、借助文氏圖來計算

　　如下圖所示，I是所有建筑防水卷材產(chǎn)品的集合，A是可溶物含量不達標的產(chǎn)品集合，B是低溫柔度不合格產(chǎn)品的集合，C屬于接縫剪切性能不合格的產(chǎn)品集合，圖中的數(shù)字即是相應(yīng)集合中元素的個數(shù)。

　　圖中黑色部是同時兩項不格的產(chǎn)品集合，灰色部是這三項都不合格的產(chǎn)品集合。計算至少有一項不達標的產(chǎn)品的種數(shù)時候，黑色部分重復計算了一次，灰色部分復計算了兩次，所以，至少有一項不達標的產(chǎn)品的種數(shù)有10+8+9-7×1-1×2=18(種)進而可求出三項全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有(52-18)種，即34種。

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　　考生在學習本文時，要注意以下兩點：

　　1、文氏圖表示的都是相應(yīng)的集合，而本篇文稿所提到的要解決的問題則是計算集合內(nèi)事物個數(shù)的問題。

　　2、一般情況下，較為容易的采用容斥原理公式來計算，較為復雜則需借助文氏圖。

　　所謂具體問題具體分析，這兩種方法具體如何運用，考生還要針對不同題型靈活把握。