7.一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差如果是11的倍數(shù)，那么這個整數(shù)也是11的倍數(shù)。(一個整數(shù)的個位、百位、萬位、…稱為奇數(shù)位，十位、千位、百萬位……稱為偶數(shù)位。)
如判斷42559能否被11整除。
42559=4×10000+2×1000+5×100+5×10+9=4×(9999+1)+2×(1001-1)+5(99+1)+5×(11-1)+9
=(4×9999+2×1001+5×99+5×11)+(4-2+5-5+9)=11×(4×909+2×91+5×9+5)+(4-2+5-5+9)
前一部分顯然是11的倍數(shù)。因此判斷42559是否11的倍數(shù)只要看后一部分4-2+5-5+9是否為11的倍數(shù)。
而4-2+5-5+9=(4+5+9)-(2+5)恰為奇數(shù)位上數(shù)字之和減去偶數(shù)位上數(shù)字之和的差。
由于(4+5+9)-(2+5)=11是11的倍數(shù)，故42559是11的倍數(shù)�！‖F(xiàn)在要判斷7295871是否為11的倍數(shù)，只須直接計算(1+8+9+7)-(7+5+2)是否為11的倍數(shù)即可。由25-14=11知(1+8+9+7)-(7+5+2)是1的倍數(shù)，故11|7295871。
上面所舉的例子，是奇數(shù)位數(shù)字和大于偶數(shù)位數(shù)字和的情形。如果奇數(shù)位數(shù)字和小于偶數(shù)位數(shù)字和(即我們平時認為“不夠減”)，那么該怎么辦呢?
如867493的奇數(shù)位數(shù)字和為3+4+6，而偶數(shù)位數(shù)字和為9+7+8。顯然3+4+6小于9+7+8，即13小于24。
遇到這種情況，可在13-24這種式子后面依次加上11，直至“夠減”為止。
由于13-24+11=0，恰為11的倍數(shù)，所以知道867493必是11的倍數(shù)。
又如738292的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為(2+2+3)-(9+8+7)=7-24
7-24+11+11=5(加了兩次11使“夠減”)。由于5不能被11整除，故可立即判斷738292不能被11整除。
實際上，一個整數(shù)被11除所得的余數(shù)，即是這個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差被11除所得的余數(shù)(不夠減時依次加11直至夠減為止)。
同學(xué)們還會發(fā)現(xiàn)：任何一個三位數(shù)連寫兩次組成的六位數(shù)一定能被11整除。
如186這個三位數(shù)，連寫兩次成為六位數(shù)186186。由于這個六位數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和為6+1+8，偶數(shù)位數(shù)字和為8+6+1，它們的差恰好為零，故186186是11的倍數(shù)。
