和差倍比問題是研究不同量之間的和、差、倍數(shù)、比例關(guān)系的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，在數(shù)學(xué)運(yùn)算中比較容易理解。但此類問題對(duì)計(jì)算速度和準(zhǔn)確度要求較高，考生在平時(shí)復(fù)習(xí)中，應(yīng)注意培養(yǎng)自己的速算能力。
按照考查形式，和差倍比問題可以分成兩大類：即和差倍的數(shù)量關(guān)系和比例關(guān)系。其中利用比例問題的基本公式，還可以幫助解決隱含對(duì)應(yīng)比例關(guān)系的行程、工程問題。
一、明確和差倍的數(shù)量關(guān)系
和差倍問題并沒有統(tǒng)一的背景概念，通常題干敘述一些條件之間的關(guān)系，包括：和倍、差倍、和差關(guān)系三種。
1.和倍關(guān)系：已知兩數(shù)之和與它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)。
和÷(倍數(shù)+1)=較小數(shù)
【示例1】師、徒兩人共加工105個(gè)零件，師傅加工的個(gè)數(shù)比徒弟的3倍還多5個(gè)，師傅和徒弟各加工零件多少個(gè)?
解析：根據(jù)題意，徒弟加工的少，可將徒弟的看成1倍量。
畫出示意圖：
從圖上可以看出，如果師傅少加工5個(gè)，則兩人加工的總數(shù)少5個(gè)，變?yōu)?00個(gè)，這時(shí)是整數(shù)倍，一共有1+3=4倍。1倍量=100÷4=25，即徒弟加工了25個(gè)。師傅加工了105-25=80個(gè)。
2.差倍關(guān)系：已知兩數(shù)之差與它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)。
差÷(倍數(shù)-1)=較小數(shù)
【示例2】兩塊同樣長的花布，第一塊賣出31米，第二塊賣出19米后，第二塊是第一塊的4倍，則第一塊花布原有多少米?
解析：已知兩塊花布同樣長，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少，因此第一塊剩下的少，第二塊剩下的多。將第一塊剩下的看成1倍量，畫出示意圖：
所剩的布第二塊比第一塊多31-19=12米。又知第二塊所剩下的布是第一塊的4倍，根據(jù)差倍公式，差÷(倍數(shù)-1)=1倍量，可知第一塊所剩布的長度為12÷(4-1)=4米，則第一塊布原有4+31=35米。
3.和差關(guān)系：已知兩數(shù)之和與差，求這兩個(gè)數(shù)。
(和+差)÷2=較大數(shù) (和-差)÷2=較小數(shù)
【示例3】甲班和乙班共有圖書160本，且甲班的圖書比乙班多20本，甲乙兩班各有多少本圖書?
解析：乙班書較少，將乙班的書看成1倍量，則甲班的書減20本等于1倍量，從而有 1+1=2倍量=160-20，所以1倍量為(160-20)÷2=70，即乙班有圖書70本。
也可將甲班的書看成1倍量，則乙班的書+20本=1倍量，從而1+1=2倍量=160+20，所以1倍量為(160+20)÷2=90本，即甲班有圖書90本。
二、比例問題
比例問題是指分量與總量的比較，或者是分量之間的比較。因此，解決比例問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)各分量、總量以及分量與總量之間的比例關(guān)系，再根據(jù)對(duì)應(yīng)的公式進(jìn)行求解。
基本公式：分量÷總量=所占比例，分量÷所占比例=總量，分量=總量×所占比例
解題時(shí)，需注意兩點(diǎn)：
(1)題干中，如果有明顯的等量關(guān)系，且算術(shù)方法思路復(fù)雜時(shí)，可用方程法去解。設(shè)未知數(shù)時(shí)，要注意結(jié)合比例關(guān)系，避免分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)。
(2)根據(jù)題干數(shù)字特征，尤其是遇到含分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的題，可結(jié)合選項(xiàng)排除。
【例題1】
解析：此題答案為A。
【例題2】甲、乙、丙、丁四個(gè)隊(duì)共同植樹造林，甲隊(duì)造林的畝數(shù)是另外三個(gè)隊(duì)造林總畝數(shù)的 ，乙隊(duì)造林的畝數(shù)是另外三個(gè)隊(duì)造林總畝數(shù)的 ，丙隊(duì)造林的畝數(shù)是另外三個(gè)隊(duì)造林總畝數(shù)的一半。已知丁隊(duì)共造林3900 畝，問甲隊(duì)共造林多少畝?
A.9000 B.3600 C.6000 D.4500
解析：此題答案為B。
三、在行程、工程問題中的應(yīng)用
解決與工程、行程問題相結(jié)合的比例問題時(shí)，需要利用工程、行程問題中的相關(guān)知識(shí)，找出其中隱含的比例與對(duì)應(yīng)量之間的關(guān)系，再利用比例問題的公式解題。
【例題3】師徒二人加工一批零件，師傅加工一個(gè)零件用9分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15分鐘。完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工100個(gè)零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個(gè)零件?
A.200 B.400 C.500 D.600
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